Kaj je predikat: definicija in primeri

Kaj je predikat? Ta beseda najdemo v jezikoslovju, matematiki, filozofiji in programiranju. Ali ne more biti tako, da ima ta beseda v teh zelo različnih znanostih enak pomen? Matematična logika daje lastno posebno interpretacijo tega izraza. Začnimo s tem.

Predikat v matematiki

V matematični logiki se predikat običajno razume kot funkcija P: X → {true, false}, imenovan predikat X. Predikati pa imajo veliko različnih aplikacij in interpretacij v matematiki in logiki, njihova natančna definicija, pomen in uporaba pa se razlikujejo od teorije do teorije. Tako, na primer, če teorija definira koncept relacije, je predikat preprosto značilna funkcija, ki je sicer znana kot indikatorska funkcija relacije. Vendar pa niso vse teorije povezane ali temeljijo na teoriji množic, zato morate biti previdni pri pravilni definiciji in semantični interpretaciji predikata.

Resnično ali neresnično

Če še vedno ne razumete, kaj je predikat v matematiki, potem je smiselno o tem podrobneje govoriti. Neformalno je predikat izjava, ki je lahko resnična ali neresnična, odvisno od vrednosti njenih spremenljivk. Lahko ga razumemo kot operator ali funkcijo, ki vrne vrednost, ki je resnična ali neresnična. Na primer, predikati se včasih uporabljajo za določanje niza elementov: ko govorimo o množicah, je včasih neprijetno ali nemogoče opisati niz z navedbo vseh njegovih elementov. Predikat P (x) bo torej resničen ali neresničen, odvisno od tega, ali x pripada množici.

Lastnosti predmeta

Predmeti v matematični logiki se pogosto uporabljajo tudi za pogovor o lastnostih objektov, ki definirajo skupino vseh objektov, ki imajo skupno lastnost. Tako je na primer, ko je P predikat X, včasih mogoče reči, da je P lastnost X. Podobno se za zapis P (x) uporablja stavek ali izjava P glede na objekt spremenljivke X. Set, ki ga definira P (x), je zapisan kot { x | P (x)} in je niz objektov, za katere je P resničen.

Na primer, {x | x je pozitivno celo število manj kot 4} je množica {1,2,3}.

Če je t element množice {x | P (x)}, potem je izjava P (t) resnična.

Tu se P (x) imenuje predikat, x pa je ograda. Včasih se P (x) imenuje tudi propozicijska funkcija, saj vsaka izbira s X ustvari stavek.

Preprosta oblika predikata (P) je boolski izraz, v tem primeru so vhodi v izraz sami vrednosti, ki se uporabljajo z uporabo boolean operacij. Boolean izraz s skupino predikatnih resnic je bolj zapleten pojav.

Formalna opredelitev

• Natančna semantična interpretacija atomske formule in atomskega stavka se bo razlikovala od teorije do teorije.
• V propozicijski logiki se atomske formule imenujejo propozicijske spremenljivke. V nekem smislu so to predikati z ničelnimi vrednostmi.
• V logiki prvega reda je atomska formula sestavljena iz predikatnega simbola, ki se uporablja za ustrezno število članov.
• V teoriji množic predikate razumemo kot značilne funkcije ali definiramo funkcije kazalnika, to je funkcije od danega elementa do vrednosti resnice.
• Metoda konstruiranja tipov sodb uporablja predikate za njihovo določitev.
• V avto-epistemični logiki, ki zavrača zakon izključene sredine, so predikati lahko resnični, napačni ali preprosto neznani, to pomeni, da ta niz dejstev morda ne zadostuje za določitev resnice ali laži predikata.
• V mehki logiki so predikati značilne funkcije porazdelitve verjetnosti. To pomeni, da je stroga resnična / napačna ocena predikata nadomeščena z vrednostjo, interpretirano kot stopnja resnice.

Gramatični predikat

V slovničnih teorijah obstajata dva konkurenčna predikatna koncepta. Konkurenca med tema dvema konceptoma je ustvarila zmedo glede uporabe izraza »predikat« v teorijah slovnice. Torej, kaj je predikat? Ta članek zajema oba koncepta.

Prvi koncept se nanaša na tradicionalno slovnico, ki ima za težnjo, da predikat obravnava kot enega od dveh glavnih delov stavka, drugi del pa je predmet. Namen predikata je dokončanje ideje subjekta, na primer, kaj počne ali kaj je.

Drugi koncept je bil izpeljan iz dela v predikatnem računu (predikatna logika, logika prvega reda) in je v sodobnih teorijah sintakse in slovnice pomemben. Pri tem pristopu predikat stavek v bistvu ustreza glavnemu glagolu in vsakemu pomožnemu sredstvu, ki spremlja glavni glagol. Hkrati so njeni argumenti (na primer imenske fraze) zunaj predikata.

V tradicionalni slovnici

Pojem P v tradicionalni slovnici je navdihnjen s propozicijsko logiko antike (v nasprotju z bolj moderno logiko predikatov). Predikat se obravnava kot lastnost, ki jo ima subjekt. Zato je predikat izraz, ki je lahko resničen. Izraz "premakne" torej velja za vse, kar se premika. To daje odgovor na vprašanje, kaj je predikat.

Takšno klasično razumevanje predikatov je bilo bolj ali manj neposredno v latinščini in grški gramatiki, od tod je padlo v slovnico angleškega in ruskega jezika, kjer se neposredno uporablja za analizo strukture stavka. To razumevanje P se uporablja tudi v slovarjih v angleškem jeziku.

Predmet in predikat

Predikat je eden od dveh glavnih delov stavka (drugi je predmet, ki ga predikat spreminja). Vsebovati mora glagol in glagol zahteva ali dovoljuje drugim elementom, da izpolnijo predikat.

Predikat vsebuje informacije o subjektu: kaj je, kaj subjekt počne ali kaj je predmet. Povezava med subjektom in njegovim predikatom se včasih imenuje jezik predikatov. Njena nominalna vrednost je samostalnik. Na primer, v stavku "George III - kralj Anglije" je angleški kralj predikativna nominalna. Predmet in predikativna vrednost morata biti povezana s povezovalnim glagolom, imenovanim tudi kopula. Tudi predmet in predikativen pridevnik morata biti povezana skupaj.

V skladnji

Sintaktik P označuje skladenjsko veljavnost uporabe dela v formalni slovnici in je podoben semantičnemu predikatu, ki določa semantično realnost uporabe dela. Sintaktični predikati so v svoji začetni izvedbi imeli obliko »(α)?« In lahko se pojavijo le na levem robu dela. Potreben sintaktični pogoj α je lahko vsak veljavni slovnični fragment brez konteksta.

Bolj formalno je sintaktični predikat oblika proizvodnega presečišča, ki se uporablja v specifikacijah razčlenjevalnika ali v formalnih slovnicah. V tem smislu ima izraz pomen matematične funkcije indikatorja. Če sta p1 in p2 proizvodna pravila, je jezik, ki ga tvorita oba p1 in p2, njihovo dano križišče.

Odsevni slovnični izrazi (PEGs), ki jih je izumil Brian Ford, razširjajo te preproste P, kar jim omogoča, da se pojavijo kjerkoli v proizvodnji skupaj z "ne-predikati". Poleg tega je Ford izumil postopek razčlenjevanja za obdelavo teh slovnic v linearnem času.

Ta pristop je implementiran v ANTLR različici 3, ki za ogled uporablja deterministične državne naprave. To lahko zahteva testiranje predikata za izbiro med sintaktičnimi prehodi (tako imenovano razčlenjevanje pred LL (*)).

V sodobnih sintaksnih teorijah

Večina sodobnih teorij sintakse in slovnice izvira iz teorije predikatnega računa, povezanega z Gottlob Frege. To razumevanje vidi predikate kot odnose ali funkcije, ki stojijo nad argumenti. Uporabljajo se za dodelitev lastnosti enemu argumentu ali za medsebojno povezavo dveh ali več argumentov. Predlogi so sestavljeni iz predikatov in njihovih argumentov (in dodatkov) in so zato strukture argumenta predikata. V skladu z njimi se ta P šteje kot povezovanje svojih argumentov z večjo strukturo.

Predikati so postavljeni levo zunaj oklepajev, njihovi argumenti pa so postavljeni znotraj oklepajev. Priznava predikatno valenco, po kateri je lahko na voljo (ni prikazana), monovalentna, dvovalentna ali trivalentna. Te vrste predstavitev so podobne formalnim semantičnim analizam, kjer govorimo o pravilnem obračunavanju dejstev kvantifikatorjev in logičnih operatorjev. Vendar pa glede na osnovno strukturo stavka te reprezentacije najprej predpostavljajo, da so glagoli predikati, in samostalniške fraze, s katerimi se pojavljajo, so njihovi argumenti. S tem razumevanjem stavka je binarna delitev stavka v predmet NP in predikat VP komaj mogoča. Namesto tega je glagol predikat in samostalniki so njegovi argumenti.

V logiki

Logika prvega reda, znana tudi kot predikatni račun prvega reda in logika predikata, je niz formalnih sistemov, ki se uporabljajo v matematiki, filozofiji, jezikoslovju in računalništvu. Logika prvega reda uporablja kvantizirane spremenljivke nad objekti in omogoča uporabo stavkov, ki vsebujejo spremenljivke. To ga razlikuje od propozicijske logike, ki ne uporablja kvantifikatorjev ali odnosov.

Logika prvega reda

Takšne teorije so praviloma del logike prvega reda, skupaj z določenim področjem diskurza, v katerem se spremenljive spremenljivke razlikujejo. Včasih je teorija razumljena v bolj formalnem smislu, in to je le niz stavkov v logiki prvega reda.

Uporabljeni pridevniki razlikujejo logiko prvega reda od logike višjega reda, v kateri obstaja, z definiranjem predikatov ali funkcij kot argumentov ali v katerih je dovoljen en ali oba predikatna kvantifikatorja ali kvantifikatorji funkcij. V teorijah prvega reda so predikati pogosto povezani z množicami. V interpretativnih teorijah višjega reda jih je mogoče razlagati kot množice. Nekaj ​​podobnega se uporablja pri definiranju predikata v programiranju. To ni presenetljivo, ker je matematika postala neke vrste surovina za to znanost.

Teoretični del

Obstaja veliko deduktivnih sistemov za vrste sodb in logike prvega reda, ki so hkrati zdrave (vse dokazljive trditve veljajo v vseh modelih) in popolne (izjave, ki veljajo za vse modele, so dokazljive). Čeprav je razmerje logične posledice le pol topnega, je v avtomatiziranem izreku, ki je bil dokazan v logiki prvega reda, dosežen pomemben napredek. Tudi logika prvega reda izpolnjuje več metalogičnih izrekov, ki so primerni za analizo v teoriji dokazov, kot sta Levenheim-Skolemov izrek in izrek o kompaktnosti.

Logika prvega reda je standard za formalizacijo matematike v aksiomih in se preučuje v temeljih matematike. Peano aritmetika in Zermelo-Fraenkelova teorija množic sta aksiomatizaciji teorije števil in teorije množic, so del logike prvega reda. Vendar teorija prvega reda nima zmožnosti, da bi na primer edinstveno opisala strukturo z neskončno regijo naravnih števil. Aksiomske sisteme, ki v celoti opisujejo ti dve strukturi (to je kategorične sisteme aksiomov), lahko dobimo v močnejših oblikah logike, kot je logika drugega reda.

Osnove logike prvega reda so razvili neodvisno Gottlob Frege in Charles Sanders Pierce.