Formula Tsiolkovsky: uporaba in primer

Formula Konstantina Eduardoviča Tsiolkovskega izraža maksimalno hitrost zrakoplova, t ki ga doseže med letom letala. Dobimo jo z integracijo Meshcherskyjeve enačbe.

Formula Tsiolkovsky

Ta formula izraža hitrost rakete, ki jo prenašajo plini iz zažganega goriva. Meshcherskova enačba in Tsiolkovska formula sta neločljivo povezana - Meshcherska enačba opisuje maso materialne točke, ki se s časom spreminja, medtem ko gibanje raketnega curka nenehno zmanjšuje maso zaradi izgorevanja goriva. Sprememba hitrosti s spreminjajočo se maso (ki se v našem primeru zmanjšuje) gibajočega telesa - to je tisto, kar implicira pogon. Na njem temelji formula Tsiolkovskega.

Za reševanje številnih problemov teoretične mehanike na področju curka je uporabljena Meshcherska enačba (osnovna enačba materialne točke spremenljive mase) in Tsiolkovska formula (formula končne hitrosti letala), ki se imenujejo temeljni odnosi teorije pogonskega motorja.

Osnova za načrtovanje in načrtovanje na področju vesoljskih letov je prav tista formula Tsiolkovskega, katere zaključek je bil pravi preboj za raziskovanje vesolja.

Naloge Tsiolkovskega

Da bi rešil problem medplanetarnih letov, je K. E. Tsiolkovsky štel raketo kot sredstvo za letenje. Izpeljal je formulo, ki jo lahko uporabimo za določitev odvisnosti mase zrakoplova od goriva in hitrosti ločevanja produktov zgorevanja iz raketnega goriva, ki se uporablja za gorivo. Prikazujemo dve njegovi nalogi:

• Študija gibanja telesa s spremenljivo maso z eno samo reaktivno silo, ki deluje na njo.
• Proučevanje gibanja telesa v enotnem gravitacijskem polju spremenljive mase v bližini površine Zemlje.

Predgovor

Za vse vesoljske lete je bila prvotna in temeljna ciolkovska formula za hitrost raket, ki je prikazana v nadaljevanju.

Najprej morate to storiti, grobo rečeno, za materialno točko. Na to bodo delovale sile gravitacije Zemlje in drugih nebesnih teles (v trenutku vzleta bo gravitacijska sila Zemlje seveda najmočnejša), sila zračnega upora z ene strani in nasprotno usmerjena reaktivna sila, ki izhaja iz sproščanja zgorelega plina na dnu telesa. . Raketa z veliko silo izvrže te pline, kar pove, da je pospešek nasproti strani emisije. Sedaj morate te argumente predstaviti v obliki formule.

Načelo samega raketnega poleta je preprosto. Pri visoki hitrosti nastaja plin, ki nastaja pri zgorevanju goriva, kar raketi daje določeno silo, ki deluje nasproti smeri gibanja, ki uide iz rakete. Ker se verjame, da zunanje sile ne delujejo na raketo, bo sistem zaprt, njegov zagon pa ni odvisen od časa.

Meshcherskyjeva enačba

Eden glavnih primerov gibanja telesa s spreminjajočo se maso je raketa z eno stopnjo, katere masa se spreminja le zaradi izgorevanja goriva, ki ga vsebuje. Masa takšne rakete je sestavljena iz nespremenjene (sama raketa in njena nosilnost) in spremenljiva (gorivo). Tak primer je poenostavljen model.

Vendar pa se v sodobni raketni proizvodnji uporabljajo večstopenjske rakete. Načelo njihovega dela je, da zaradi velikega obsega korakov lahko prevažajo in uporabljajo veliko več goriva po vzletu. Po njegovem zgorevanju je raketa prikazana kot pomemben impulz (veliko večji od tistega, ki ga je mogoče doseči z eno stopnjo), in deli, ki so postali nepotrebni, se ločijo od podnožja in tako zmanjšajo skupno težo za 80-90%. Vendar pa je za izračun parametrov večstopenjske rakete potrebno seštevati kazalnike vsake od njegovih komponent.

Diferenčna enačba Meshcherskega opisuje gibanje materialne točke s spremenljivo maso.

(m + dm) (υ + dυ) + dm 'υ' - mυ = Fdt - v času dt (razlika med silo v času t in dt + t bo prirast).

Kjer sta m in υ odvisna od časa, dt - nekaj časa leta. Za to je nastala sila gibanja plina - dm 'υ', dm '- masa plina, ki nastane iz goriva. F je nastala sila.

V zgornjem izrazu je povečanje mase rakete in plina ter hitrosti hitreje na nič, tako da izraz ima naslednjo obliko:

mdυ = υ''dm + Fdt,

poleg tega je υ "enaka razliki med hitrostjo in hitrostjo plina in je hitrost odtoka plina.

- enačba v obliki začne sovpadati z Newtonovim drugim zakonom - F = ma = m

Imenuje se Meshcherska enačba.

Izpeljava formule Tsiolkovsky

Treba je izpeljati formulo, ki opisuje gibanje telesa s spremenljivo maso. Formula Tsiolkovsky je taka. Rezultati so predstavljeni v nadaljevanju.

V teh izračunih se predpostavlja, da zunanje sile ne delujejo na premikajoče se telo, to je F = 0.

Potem mdυ = υ''dm

Ker je vpliv zunanjih sil na leteči raketni ničli, se premika v ravni črti in hitrost gibanja je nasprotna hitrosti plina. V skladu s tem υ = -υ ''

Izkazalo se je, da je izraz, ki ga je treba integrirati.

Treba je najti konstanto. Da bi to naredili, je dovolj, da začetne pogoje nadomestimo z enačbo - hitrost je nič, masa pa je vsota mase goriva in mase rakete (m ₀ + m).

Na splošno je m v formuli sestavljen iz dveh parametrov - od nosilnosti in oblike rakete. Obremenitev je skupna teža tovora in posadke.

Ugotovljeno konstanto nadomestimo s formulo. Tako dobimo izraz zahtevane formule.

To je ena od variacij ciolkovske formule za hitrost. Vendar je včasih treba natančno upoštevati maso. Zato je včasih napisana takole:

Ta formula se uporablja za izračun mase goriva, ki je potrebna za razvoj določene hitrosti pod določenimi pogoji.

Nadalje bom obravnaval majhno nalogo. Recimo, da mora raketa razviti prvo kozmično hitrost za rotacijo vzdolž Zemljine orbite. Potem morate najprej izračunajte maso seveda. Potem je zelo preprosto to izraziti iz formule Tsiolkovsky.

Relativistična mehanika

Vse zgornje formule se lahko uporabljajo samo v primeru, ko je hitrost rakete veliko manjša od hitrosti svetlobe (υ <

Vendar, če je mogoče hitrost rakete primerjati s hitrostjo svetlobe, je treba uporabiti druge zakone.

Naj bo m in υ masa rakete v stanju in njena hitrost v vsakem trenutku t in υ 'in m' sta hitrost izpusta plina in njena masa istočasno. To pomeni, da je m 'masa sproščenega plina, zato je njena vrednost za izračun nepomembna, m' = 0.

V relativistični mehaniki je potrebno zapisati zakon ohranjanja gibalne količine in zakon varčevanja z energijo, nato razlikovati prvo enačbo, glede na to, da je m '= 0 in dobimo izraz tretji.

pri čemer je u hitrost emisije plinov.

Temelji na zakonu dodajanja hitrosti v relativistični mehaniki. Treba ga je pretvoriti glede na υ 'in integrirati, da dobimo končno različico enačbe.

In potem dobimo ciolkovsko formulo za hitrost, primerljivo s hitrostjo svetlobe. Lahko se imenuje tudi Tsiolkovska relativistična formula.

Nalogo lahko nekoliko otežite in kot primer raketo z več stopnjami. Tako je Tsiolkovska formula za večstopenjsko raketo vsota parametrov, potrebnih za izračun. To pomeni, da za izračun hitrosti za večstopenjsko raketo dodamo hitrost vsakega od sestavnih delov.

Več sklepov iz formule Tsiolkovsky

Osnova vseh vesoljskih letov je formula Tsiolkovsky.

• Hitrost gibanja je neposredno odvisna od relativne hitrosti izmetavanja plinov, zato je večja hitrost izmetavanja hitrejša.
• Večje kot je razmerje med maso rakete in maso goriva na maso rakete, večja je hitrost rakete. Povečanje se pojavi celo glede na določeno odvisnost - če se razmerje mase poveča geometrijsko napredovanje to pomeni, da je vsaka prejšnja številka manjša od naslednjega določeno število krat, potem hitrost raste v aritmetični progresiji - vsaka prejšnja številka je manjša od naslednjega za določeno število. Vendar to ne pomeni, da je hitrost sorazmerna z maso. Sam Tsiolkovsky je v svojih zapisih zapisal, da hitrost raste počasneje v primerjavi s povečanjem goriva, vendar nima omejitev.
• Zato je za razvoj večje hitrosti potrebno povečati hitrost izmetavanja plina in mase goriva.

Raketna učinkovitost

Pri izračunu leta je pomembno, da se jasno razume, kolikšen odstotek energije, pridobljene po izgorevanju goriva, se uporablja kot koristno delo?

Tako se učinkovitost imenuje razmerje kinetične energije raket in plinov po izmetu. Označimo m in m 'za maso rakete na začetku in na koncu leta, neprekinjen čas t. V skladu s tem - stopnja izmetavanja plinov.

Torej, po formuli Tsiolkovskega, je učinkovitost raketnega motorja na voljo na naslednji način:

Treba je opozoriti, da je ta učinkovitost zelo majhna in ne presega 5%, poleg tega, kot v toplotnih motorjih, je ta kazalnik enak 80%.

Druga oblika formule

Nekateri viri uporabljajo nekoliko drugačno formulo Tsiolkovskega, enačbo, v kateri se namesto υ uporablja drug parameter - I. V tem primeru se jaz imenuje specifični impulz in celo pojasnilo, da je specifični impulz izražen s potiskom motorja in njegovo masno sežiganje goriva na enoto časa. . Prvo vprašanje, ki pride na misel, je vprašanje dimenzionalnosti. V nasprotju s hitrostjo ima drugačna dimenzija, ki bo v nasprotju z bistvom formule. Vendar pa specifični impulz sam po sebi sovpada z dimenzijo s hitrostjo.

Specifični impulz označuje število sekund, ko bo motor, ki je porabil enoto goriva, prejel enoto sile. Uporablja se izključno za opis reaktivnega motorja.

Uporabite pri ustvarjanju projektilov

Formula za Tsiolkovsky za večstopenjsko raketo se uporablja tudi pri načrtovanju rakete. Za to je uporabljen popolnoma logičen odnos, ki je praktično neposredno sorazmeren - več kot se porabi gorivo pri letenju, večja je masa same rakete. Razlog za to je dejstvo, da so za prevoz velikih količin goriva potrebni veliki rezervoarji, zato se zaradi tega povečata tudi velikost ladje in celo sam motor. Rešitev problema je uporaba trdnih goriv, ​​ki zahteva manj skladiščnih pogojev. Vendar ima trenutno najmanjši specifični impulz obstoječih.

Vesoljske hitrosti

Ciolkovska formula se uporablja tudi za izračun potrebne količine goriva za razvoj določene hitrosti - običajno ena od štirih kozmičnih.

• Prva kozmična hitrost - ladja gre v orbito planeta. Za Zemljo je približno 7,91 km / s.
• Druga kozmična hitrost - raketa premaga silo gravitacije in gre v odprt prostor. Za Zemljo - 11,2 km / s.
• Tretja kozmična hitrost - raketa premaga silo privlačnosti zvezde v sistemu (npr. Sonce) in presega. Za sončni sistem - 42 km / s pa so ti izračuni nenatančni zaradi potrebe po premagovanju privlačnosti planeta.
• Četrta kozmična hitrost - ladja lahko zapusti galaksijo. Za Rimsko cesto - več kot 500 km / s, izračunano na podlagi točke lokacije.