Geometrijska progresija, njena uporaba pri reševanju problemov

Starodavna indijanka kralj se je odločil velikodušno nagraditi izumitelja šaha: "Vprašaj me, kaj želiš za tako pametno igro." Skromen odgovor je presenetil vladarja, ko je žajbelj prosil za pšenična zrna, kolikor bi lahko stala na 64 celicah šahovnice. Rekel je: »Na prvo celico položite 1 žito, drugo na drugo, 4 na tretjo, nato 8, 16, 32, ...«. Število zrn se je moralo vsakič podvojiti. Rezultat v štetju je omamil kralja. Zrna so štela 230.584.300.921.369 funtov. Iz tega niza številk se je pokazalo, da je bila geometrijska progresija. Vsota njenih članov je tako velika, da so bila žita šteta večkrat kot celotna svetovna pridelava pšenice.

Zaporedje števil

V njej se vsaka naslednja številka, začenši z drugo, dobi s pomnožitvijo prejšnje z neko konstantno številko q (const), imenovano imenovalec. Prva številka je ₁ and 0 in q You 0. To lahko napišete takole:
v ₁ ; v ₂ = v ₁ ; q; v ₃ = v ₂ ; q; ...; v _n = v _n-1 . q.
V našem primeru {in _n } številke rastejo zelo hitro. To je naraščajoča geometrijska progresija, ker je pozitivni imenovalec q ›1 in v ₁ › 0. Če | q | ‹1, napredovanje se zmanjšuje, s q‹ 0 - izmenično. Tu je formula za vsakega člana takega zaporedja:
v _n = v _1. q ^n-1 .
Predlagani problem zrn je rešen z dobro znano formulo za vsoto n-prvih članov naraščajoče geometrijske progresije.
S = (a ₁ -a _p ) q) :( 1-q), pod pogojem, da q ≠ 1.
Za reševanje mnogih drugih problemov je pomembno poznati značilno lastnost napredovanja. Vsak izraz v kvadratu (razen prvega) je enak zmnožku izrazov, ki so enako oddaljeni od njega,
v _n ² = v nk ∙ v _{n + k} , kjer je 1 ≤ k ‹n, n ≥ 2.

Neskončno geometrijsko napredovanje

Gre za serijo števil, ko je n nagnjen k ∞. Primer je zaporedje kvadratov kvadratov, ki se dobijo na naslednji način. Povežemo središča strani te enote, nato povežemo tudi polovice strani novega kvadrata, ta proces nadaljujemo neskončno {1, ½, ¼, 1/8, ...}. Prvo obdobje napredovanja 1, imenovalec ½. Upadajoče geometrijsko napredovanje imenujemo neskončno, če njegov imenovalec pripada odprtem segmentu (0, 1). Če upoštevamo segment (-1, 1), moramo govoriti o konvergirajočem in divergentnem zaporedju števil. Pri reševanju uporabljenih problemov je koristno poznati preprosto formulo za vsoto članov neskončno padajoče geometrijske progresije.
S = v ₁ / (1-q).

Primeri nalog z uporabo geometrijskega napredovanja

1. Vpišite periodično frakcijo 0, (13) v obliki racionalne številke (navadna frakcija).
   Predstavljajte si decimalni delež kot vsoto:
   0,131313 ... = 13/100 + 13/10000 + 13/1000000 + ...
   Očitno v ₁ = 13/100 izračunamo q: 13/10000 in delimo s 13/100,
   dobimo q = 1/100. Predlagani znesek je enostavno najti po formuli
   S = (13/100) / (1- (1/100)) = (13/100) (100/99) = 13/99 - to je prikaz decimalnega deleža v obliki navadnega.
   
2. V neskončno padajoči progresiji sta poznana 2. člen a ₂ = 21 in vsota S = 112. Potrebno je najti prvega člana. Pri reševanju uporabimo formule vsote neskončnega geometričnega in drugega termina napredovanja, dobimo sistem dveh enačb z dvema neznankama.
   Prva enačba tega sistema je 112 = a ₁ / (1-q), ₁ = 21 / q pa je 2. t
   Ko smo jo rešili, dobimo kvadratna enačba glede q.
   112q2-112q + 21 = 0, poenostavimo 16q2 -16q + 3 = 0.
   Kot rezultat, 2 koreni q ₁ = ¾, q ₂ = ¼. Prvi član
   a ₁ = 21 / (3/4) in prvi izraz a ₁ = 21 / (1/4).
   Naša naloga ima dve rešitvi: a ₁ = 28 in ₁ = 84.

Zaključek

Geometrijsko napredovanje se pogosto uporablja pri reševanju številnih problemov iskanja števila določenega člana zaporedja, njegovega imenovalca, pod pogojem, da dva sosednja člana nista določena. Obstajajo zanimivi problemi, pri katerih so člani napisani v obliki izrazov s spremenljivkami.