Lastnosti in formule pravokotne prizme

Prizma je ena od popolnih volumetričnih številk, skupaj s kroglo, valjem in piramido, katere lastnosti so obravnavane v posebnem delu geometrije - stereometrije. V tem članku bomo razpravljali o glavnih značilnostih pravokotne prizme.

Prizma številka

Mnogi ljudje poznajo trikotne prizme ali šesterokotne, toda ne vsaka oseba ima jasno predstavo, kaj je ta številka na splošno. V geometriji pod njim razumemo prostorski objekt, ki je omejen z dvema enakima poligonoma in več kvadrimi. Dva poligona imenujemo prizma baze. Ležejo v vzporednih ravninah. Vsi štirikotniki so paralelogrami in tvorijo stransko površino slike.

Glavne formule in lastnosti prizme se nanašajo na vprašanja določanja prostornine, površine njegove površine in števila elementov, ki tvorijo sliko. Sestava slednje vključuje tocke, robove in ploskve. Količine teh elementov so med seboj povezane z Eulerovim izrazom za poliedre. Ima naslednjo obliko:

Število robov = število obrazov + število tock - 2

Ker je stranska površina prizme vedno predstavljena s paralelogrami, so njene glavne značilnosti odvisne od vrste poligona, ki leži v osnovi te slike. Če je mnogokotnik trikotnik, potem se prizma imenuje trikotna, če je štirikotnik štirikotnik in tako naprej.

Pravokotna prizma

Če je kot med vsako stranjo prizme in njenim dnom 90 ^o , se taka številka imenuje pravokotna. Upoštevajte, da govorimo o kotu med stranema in ne med rebri. Pogosto se taka številka imenuje neposredna prizma.

Ko je označeni kot 90 ^o , potem vsi paralelogrami avtomatično postanejo pravokotniki. To je še en razlog, zakaj se ta prizma imenuje pravokotna. Spodnja slika prikazuje, kako izgleda pravokotna prizma.

Tu vidimo, da se vsaka od treh prizm razlikuje od drugih po vrsti poligona, ki je podlaga za obliko. Slika prikazuje trikotne, štirikotne in peterokotne prizme. Število pravokotnikov za vsakega od njih je 3, 4 oziroma 5.

Pomembna lastnost pravokotne prizme, ki jo ločuje od poševnega kota, je dejstvo, da dolžina njenega stranskega roba sovpada z višino slike. Ta lastnost je zelo priročna pri izračunu njene površine in prostornine.

Pravilna prizma

Vsaka neposredna prizma, na kateri leži pravilen mnogokotnik, se imenuje redna. Navedeni mnogokotnik mora imeti enako dolžino vseh strani in enakih kotov. Takšen pravokotnik je enakostranični trikotnik, kvadrat, peterokotnik in tako naprej.

Spodnja slika prikazuje dve prizmi. Leva je pravilna, ker je v njenem dnu kvadrat in je ravna. Pravica, kljub temu, da je črta ravna, ni pravilna, saj je njena baza poljuben štirikotnik.

Edina pravilna prizma, ki ima svoje ime, je kocka. Dobimo ga, ko višina slike sovpada z dolžino stranice kvadrata na dnu.

Ker je območje za pravilen poligon enostavno izračunati, potem so za vsako običajno prizmo znane formule za njegovo površino in prostornino.

Območje pravilnega mnogokotnika

Preden podate formule za površino in prostornino pravokotne prizme, upoštevajte pravilen mnogokotnik.

Spodnja slika prikazuje niz pravilnih mnogokotnikov, razen kroga.

Vidimo, da za vsako od njih število strani sovpada s številom vogalov. Poleg tega so vse strani in koti enaki. Te lastnosti nam omogočajo, da damo formulo, ki je univerzalna za vse pravilne poligone in nam omogoča izračun njihove površine. Formula ima obliko:

S _n = n / 4 * a ² * ctg (pi / n)

Če je a dolžina strani, je n število strani (tock) oblike. Simbol ctg označuje kotangentno trigonometrično funkcijo.

Pokažemo, kako uporabiti ta izraz. Na primer, izračunajmo območje enakostraničnega trikotnika. Zanj n = 3, nato:

S ₃ = 3/4 * a ² * ctg (pi / 3) = 3/4 * a ² * 1 / =3 = √ 3/4 * a ²

Zdaj uporabite to formulo za kvadrat. Imamo:

S ₄ = 4/4 * a ² * ctg (pi / 4) = a ² * 1 = a ²

To pomeni, da imamo dobro znani izraz za kvadrat.

Površina prizme

Ko je bila podana geometrijska definicija zadevne številke, je bilo prikazano, da je sestavljena iz dveh baz in številnih paralelogramov. To število je popolnoma enako številu stranic poligona na dnu. Površina obravnavane številke se lahko zapiše z naslednjo formulo:

S = 2 * S _o + S _b

Kjer je S _o - osnovna površina, S _b - stranska površina. Ker je slednji sestavljen iz n paralelogramov, je njegova vrednost enaka vsoti njihovih površin.

V primeru pravilne ravne prizme bo stranska površina tvorjena s pravokotniki s stranicami a in h, kjer je a dolžina podnožja, h je višina prizme. Za primer n pravilnega kvadrata dobimo formulo za območje S _tot prizme:

S _tot = n / 2 * a ² * ctg (pi / n) + n * a * h

Spodnja slika prikazuje skico šesterokotne prizme.

Vidimo lahko, da je slika sestavljena iz dveh pravilnih šestkotnikov in šestih enakih pravokotnikov, katerih ena stran je enaka strani šesterokotnika. Z uporabo zgornjega izraza za to prizmo dobimo:

S ⁶ _tot = _6/2 * a ² * ctg (pi / 6) + 6 * a * h = 3 * a * (*3 * a + 2 * h)

Formula za prostornino

Volumen prizme se na splošno izračuna po naslednji preprosti formuli:

V = S _o * h

Za pravokotno obliko je višina njen rob, zato je ta izraz lahko uporabiti. Na primer, izračunamo prostornino trikotne pravilne prizme. Površina njene baze je že izračunana, enaka:

S ₃ = / ₃ / 4 * a ²

Nato bo vrednost za obliko naslednja:

V = S ₃ * h = /3 / 4 * a ² * h

Formule za ravne prizme z pravilnim poligonom na dnu kažejo, da lahko vse lastnosti za takšne številke dobimo, če poznate samo dva parametra: dolžino strani n-gonila in višino prizme.