Logaritmi: pravila, osnovne lastnosti in formule

Logaritmi in pravila delovanja z njimi so precej prostorni in preprosti. Zato, da bi razumeli to temo, vam ne bo težko. Ko se naučite vseh pravil naravnih logaritmov, bo vsak problem rešen samostojno. Prvo poznavanje te teme se morda zdi dolgočasno in nesmiselno, toda s pomočjo logaritmov je bilo rešenih veliko problemov matematikov 16. stoletja. "Za kaj gre?" - si mislil. Preberite članek do konca in ugotovite, da ta del "Czarina znanosti" lahko zanimajo ne le matematiki, znanstveniki točnih znanosti, ampak tudi navadnim srednješolcem.

Opredelitev logaritma

Začnimo z definicijo logaritma. Kot pravijo številni učbeniki: logaritem števila b na podlagi a (log _a b) je določeno število c, za katero ima ta enakost: b = a ^c . To je preprosto povedano, logaritem je določena stopnja, do katere gradimo bazo, da dobimo dano število. Pomembno pa je vedeti, da je logaritem oblike log _a b smiseln samo, če: a> 0; a je številka, ki ni 1; b> 0, zato sklepamo, da je logaritem mogoče najti le za pozitivna števila.

Klasifikacija logaritmov z bazo

Logaritmi so lahko poljubna pozitivna števila na bazi. Obstajajo pa tudi dve vrsti: naravni in decimalni logaritmi.

• Naravni logaritem - logaritem z bazo e (e je Eulerjevo število, ki je numerično približno enak 2.7, iracionalno število, ki je bilo uvedeno za eksponentno funkcijo y = e ^x ), je označeno kot ln a = log _e a;
• Decimalni logaritem je logaritem z bazo 10, torej log ₁₀ a = lg a.

Osnovna pravila logaritmov

Najprej se morate seznaniti z osnovno logaritmično identiteto: ^{log _a b} = b, nato sledite tem osnovnim pravilom:

• log _a 1 = 0 - ker je vsaka številka v ničelni stopnji 1;
• log _a a = 1.

Z odkritjem logaritma nam ni težko rešiti absolutno nobene eksponentne enačbe, katere odgovora ni mogoče izraziti v naravnih številkah, ampak le iracionalno. Na primer: 5 ^x = 9, x = log ₅ 9 (ker za to enačbo ni naravnega x).

Dejanja z logaritmom

• log _a (x · y) = log _a x + log _a y - da bi našli logaritem izdelka, morate dodati logaritme faktorjev. Upoštevajte, da so baze logaritmov enake. Če to zapišemo v obratnem vrstnem redu, dobimo pravilo dodajanja logaritmov.
• log _a xy = log _a x - log _a y - da bi našli logaritem posameznega, morate najti razliko med logaritmom dividende in delitelja. Prosimo, upoštevajte: logaritmi imajo isto osnovo. Pri pisanju v obratnem vrstnem redu dobimo pravilo odštevanja logaritmov.

• log _{a ^k} x ^p = (p / k) * log _a x - torej, če so v argumentu in v osnovi logaritma stopinje, jih je mogoče vzeti iz logaritma.
• log _a x = log _{a ^c} x ^c je poseben primer prejšnjega pravila, ko so eksponenti enaki, jih je mogoče zmanjšati.
• log _a x = (log _b x) (log _b a) je tako imenovani prehodni modul, postopek pretvorbe logaritma v drugo bazo.
• log _a x = 1 / log _x a je poseben primer prehoda, sprememba krajev baze in dane številke. Celoten izraz, figurativno gledano, se obrne in logaritem z novo bazo se pojavi v imenovalcu.

Zgodovina logaritmov

V 16. stoletju je bilo potrebno izvesti številne približne izračune za reševanje praktičnih problemov, predvsem v astronomiji (npr. Določanje položaja ladje s strani Sonca ali zvezd).

Ta potreba se je hitro povečevala in precejšnje težave so povzročile množenje in delitev večmestnih številk. Matematični matematik Napier se je odločil, da bo delovno intenzivno razmnoževanje zamenjal z običajnim dodatkom za trigonometrične izračune, pri čemer bo primerjal nekatere napredke za to. Nato se delitev, podobno, nadomesti s preprostejšim in zanesljivejšim postopkom - odštevanjem in za izvlečenje korena n-te stopnje je potrebno logaritem radičnega delca razdeliti na n. Rešitev tako zahtevne naloge matematike je jasno odražala Naperjeve cilje v znanosti. Tako je o tem pisal na začetku svoje knjige Rabdologiya:

Vedno sem poskušal, kolikor sem dovolil moje sposobnosti in sposobnosti, osvoboditi ljudi pred težavami in dolgočasjem računanja, zaradi česar je običajno veliko ljudi stran od učenja matematike.

Ime logaritem je predlagal Napier sam, pridobljen je bil s kombiniranjem grških besed, kar v kombinaciji pomeni »število razmerij«.

Osnovo logaritma je uvedel Spadel. Izposodil je Eulerja iz teorije stopenj in se prenesel v teorijo logaritmov. Koncept logaritmizma je postal znan po zaslugi Koppa v 19. stoletju. Uporaba naravnih in decimalnih logaritmov, pa tudi njihovih oznak, se je pojavila zahvaljujoč Cauchyju.

Leta 1614 je John Napier v latinščini objavil esej »Opis neverjetne tabele logaritmov«. Opisan je bil kratek opis logaritmov, pravil in njihovih lastnosti. Zato je bil izraz "logaritem" vzpostavljen v natančnih znanostih.

Logaritemska operacija in prva omemba je nastala po zaslugi Wallisa in Johanna Bernoullija, ki jo je Euler dokončno ustanovil v XVIII. Stoletju.

To je Eulerjeva zasluga pri razširitvi logaritemske funkcije oblike y = log _a x na kompleksno domeno. V prvi polovici XVIII. Stoletja je izšla njegova knjiga "Uvod v analizo neskončnega", v kateri so bile moderne definicije eksponentnih in logaritmičnih funkcij.

Logaritmična funkcija

(имеет смысл, только если: а > 0, а ≠ 1). Funkcija oblike y = log _a x (smiselna je le, če: a> 0 in) 1).

• Logaritemska funkcija je določena z množico vseh pozitivnih števil, saj zapisni zapis ax obstaja le pod pogojem - x> 0 ;.
• Ta funkcija lahko sprejme absolutno vse vrednosti iz množice R (realnih števil). Ker ima vsako realno število b pozitivno x za izpolnitev enakosti log _a x = b, to pomeni, da ima ta enačba koren - x = a ^b (izhaja iz dejstva, da log _a a ^b = b).
• Funkcija se poveča na intervalu a> 0 in se zmanjša na intervalu 0 <a <1.
• Če je a> 0, potem funkcija dobi pozitivne vrednosti za x> 1.

Ne smemo pozabiti, da imajo grafi logaritemske funkcije y = log _in x eno stacionarno točko (1; 0), ker je log _in 1 = 0. To je jasno razvidno iz ilustracije spodnjega grafa.

Kot vidimo na slikah, funkcija nima enakomernosti ali čudnosti, nima največjih ali najmanjših vrednosti, ni omejena od zgoraj ali spodaj.

Logaritemska funkcija y = log _a x in eksponentna funkcija y = a ^x , kjer sta (a> 0 in) 1) medsebojno inverzna. To je razvidno iz slike njihovih grafov.

Reševanje problemov z logaritmi

Običajno rešitev problema, ki vsebuje logaritme, temelji na pretvorbi v standardno obliko ali pa je namenjena poenostavitvi izrazov pod znakom logaritma. Ali je potrebno prevesti običajne naravne številke v logaritme s potrebno osnovo, da izvedemo nadaljnje operacije za poenostavitev izraza.

Obstaja nekaj razlik, ki jih ne smemo pozabiti:

• Pri reševanju neenakosti, kadar sta oba dela pod logaritmom po pravilu z eno bazo, ne hitite z »zavrženjem« logaritma. Zapomnite si intervale monotonije logaritemske funkcije. Če je osnova večja od 1 (če se funkcija poveča) - znak neenakosti ostane nespremenjen, ko pa je osnova večja od 0 in manjša od 1 (če se funkcija zmanjša) - se znak neenakosti spremeni v nasprotno;
• _а х = b, а>0, а≠1 и х>0, чтобы не потерять корней из-за неучтенной области допустимых значений. Ne pozabite na definicijo logaritma: log _in x = b, a> 0 in ≠ 1 in x> 0, da ne bi izgubili korenin zaradi neevidentiranega območja veljavnih vrednosti. TLD (območje dovoljene vrednosti) obstaja za skoraj vse kompleksne funkcije.

Pri reševanju logaritemskih enačb je priporočljivo uporabiti enakovredne transformacije. Prav tako morate biti previdni in upoštevati možne transformacije, ki lahko vodijo do izgube nekaterih korenin.

To so običajne, vendar obsežne napake, s katerimi so se mnogi srečali pri iskanju pravega odgovora za nalogo. Pravil za reševanje logaritmov ni veliko, zato je ta tema enostavnejša od drugih in kasnejših, vendar jo je treba dobro razumeti.

Zaključek

Ta tema se lahko na prvi pogled zdi zapletena in okorna, vendar, ko jo poglobimo in poglobimo, začnemo razumeti, da se tema pravkar konča, težave pa ne povzročajo ničesar. Pregledali smo vse lastnosti, pravila in celo napake, povezane s temo logaritmov. Uspehi pri učenju!