Vietin izrek: primeri njegove uporabe pri delu s kvadratnimi enačbami
Pri proučevanju metod reševanja enačb drugega reda v šolskem tečaju algebre upoštevajte lastnosti pridobljenih korenin. Trenutno so znani kot vietski izrek. Primeri njegove uporabe so navedeni v tem članku.
Kvadratna enačba
Enačba drugega reda je enačba, ki je prikazana na spodnji sliki.
Tu sta simbola a, b, c nekaj številk, ki se imenujejo koeficienti zadevne enačbe. Da bi rešili enakost, je treba poiskati vrednosti x, ki so resnične.
Upoštevajte, da je največja vrednost stopnje, na katero je X dvignjen, enaka dvema, potem je tudi število korenin v splošnem primeru enako dvema.
Obstaja več načinov za reševanje te vrste enakosti. V tem članku obravnavamo eno izmed njih, ki vključuje uporabo tako imenovanega Vietovega izreka.
Oblikovanje Vietovega izreka
Konec XVI. Stoletja je slavni matematik Francois Vietta (Francoz), ko je analiziral lastnosti korenin različnih kvadratnih enačb, ugotovil, da določene kombinacije med njimi izpolnjujejo določene odnose. Zlasti te kombinacije so njihov izdelek in vsota.
Izrek Vieta določa naslednje: korenine kvadratne enačbe z njihovo vsoto dajejo razmerje med linearnim in kvadratnim koeficientom, vzetim z nasprotnim predznakom, in ko nastanejo, vodijo do razmerja prostega termina do kvadratnega koeficienta.
Če je splošna oblika enačbe napisana tako, kot je prikazana na sliki v prejšnjem delu članka, potem lahko matematično ta izrek zapišemo v obliki dveh enakosti:
- r2 + r1 = -b / a;
- r 1 x r 2 = c / a.
Če je r 1 , r 2 vrednost korenin zadevne enačbe.
Ti dve enačbi se lahko uporabita za reševanje številnih zelo različnih matematičnih problemov. Uporaba Vietovega izreka v primerih z rešitvijo je podana v naslednjih poglavjih članka.
Problem številka 1: obnovite enačbo
Predstavljamo naslednji problem o uporabi Vietovega izreka. Primer enačbe je podan na naslednji način: -3.4 * x - 3 * s * x 2 + k = 0. Najti moramo vrednosti s in k, vedoč, da sta dve številki rešitve te enačbe: -1,2 in 4.
Najprej se morate odločiti o vrednosti koeficientov v tem izrazu. Iz tega sledi, da je a = -3 * s, b = -3,4 in c = k.
Zdaj lahko uporabite izrek Vieta. Za vsoto korenin dobimo naslednjo enakost: -1.2 + 4 = - (- 3.4) / (-3 * s), od koder dobimo, da je s = -0.40476 (za izračun tega izraza priporočamo uporabo kalkulatorja). To pomeni, da je a = -3 * s = 1,21429. Za ustvarjanje korenin imamo:
(-1,2) * 4 = k / 1,21429, kjer je k = -5,82859.
Rekonstruirana enačba bo ustrezala obliki: -3,4 * x + 1,21429 * x 2 - 5,82859 = 0. Da bi preverili, ali je problem pravilno rešen, in če pride do napake pri njegovem reševanju, je treba v obnovljenem izrazu nadomestiti znane korenske vrednosti. Dobimo: -3,4 * (-1,2) + 1,21429 * (-1,2) 2 - 5,82859 = 0,00001 ≈ 0 in -3,4 * (4) + 1,21429 * ( 4) 2 - 5.82859 = 0.00005 ≈ 0.
Kot vidimo, so dosežene enakosti dejansko zadovoljne. Majhna napaka je posledica dejstva, da smo pri obnavljanju enačbe zaokrožili nastale številke na 5 decimalnih mest.
Problem številka 2: poiščite korenine enačbe
Rešitev kvadratnih enačb po Vietovem izreku (glej primer spodaj) je možna v vseh primerih. To pomeni, da ta metoda ni univerzalna, kajti če se koeficienti enačbe izkažejo za "neprimerne", potem ne bo delovalo.
Univerzalne metode za reševanje tega tipa izraza so uporaba diskriminanta ali dodatka k polnemu kvadratu. Vendar je pomembnost Vietovega izreka v tem primeru, da omogoča ugibati neznane korenine brez opravljanja zapletenih matematičnih izračunov.
Na primer, podan je naslednji izraz: -x 2 + 2 * x + 3 = 0. Pri iskanju rešitev za to enakost moramo uporabiti izrek Vieta. Naj bodo njegovi koreni številke r 1 in r 2 . Nato lahko napišete naslednji sistem enačb:
r1 + r2 = -2 / (- 1) = 2;
r 1 * r 2 = 3 / (-1) = -3.
Zdaj je potrebno ugibati, katera vsota števil je dva, njihov izdelek pa bo -3. Očitno so to številke 3 in -1. To bodo korenine enačbe.
Če se malo poglobimo v temo, je treba opozoriti, da se lahko vsaka enačba drugega reda, ki je zlahka predstavljena kot produkt dveh dejavnikov, reši s pomočjo obravnavanega izreka. Dejansko lahko v tem primeru napišemo (3-x) * (x + 1), če razširimo oklepaje, dobimo izvirni izraz.
Problem številka 3: vsota kvadratov
Dajemo še en primer Vietovega izreka z rešitvijo. Glede na enačbo:
6 * x 2 - 13 * x + 11 = 0. Treba je najti vsoto kvadratov njenih dveh korenov, to je (r 1 ) 2 + (r 2 ) 2 .
Seveda lahko to enačbo najprej rešite na enega od načinov in odgovorite na vprašanje problema. Vendar, če se spomnimo Vietovega izreka in lastnost kvadrata za vsoto, potem to ni potrebno.
Ne smemo pozabiti, kako se izračuna vsota dveh številk na kvadrat. Potem ugotovimo, da je za iskanje neznane vsote kvadratov potrebno izračunati vrednost izraza (r 1 + r 2 ) 2 - 2 * r 1 * r 2 . Uporabimo obe enakosti obravnavanega izreka, dobimo: (13/6) 2 - 2 * 11/6 = 1,02 (7) (7 v obdobju).
Tako smo z uporabo Vietovega izreka prihranili čas pri reševanju enačbe. Na splošno se lahko lastnosti korenin uporabijo za vse naloge, ki vključujejo izračun njihovih različnih kombinacij.