Vektor. Kaj je vektor?

Tak koncept kot vektor se obravnava v skoraj vseh naravoslovnih znanostih in ima lahko povsem različne pomene, zato je nemogoče podati edinstveno definicijo vektorja za vsa področja. Ampak poskusimo ugotoviti. Torej, kaj je vektor?

Koncept vektorja v klasični geometriji

Vektor v geometriji je segment, za katerega je označeno, katera njegova točka je začetek in ki je konec. Preprosto rečeno, vektor je usmerjen segment.

V skladu s tem je vektor označen (kar se šteje zgoraj), kot tudi segment, to je dva s tiskanimi črkami Latinska abeceda s pomišljajem ali puščico, ki kaže na desno od zgoraj. Lahko ga tudi podpišete z malimi črkami latinice z pomišljajem ali puščico. Puščica je vedno usmerjena v desno in se ne spreminja glede na lokacijo vektorja.

Tako ima vektor smer in dolžino.

Oznaka vektorja vsebuje njeno smer. To je izraženo kot na spodnji sliki.

Sprememba smeri spremeni vrednost vektorja v nasprotno smer.

Dolžina vektorja je dolžina segmenta, iz katerega se oblikuje. Označen je kot modul vektorja. To je prikazano na spodnji sliki.

V skladu s tem je nič vektor, katerega dolžina je nič. Iz tega sledi, da je ničelni vektor točka, v njej pa se ujemajo točke začetka in konca.

Dolžina vektorja - vrednost ni vedno negativna. Z drugimi besedami, če je segment, potem mora nujno imeti določeno dolžino ali pa je točka, nato pa je njena dolžina enaka nič.

Koncept točke je osnovni in nima definicije.

Vektorski dodatek

Obstajajo posebne formule in pravila za vektorje, s katerimi lahko dodate.

Pravilo trikotnika. Za vektorski dodatki po tem pravilu zadostuje, da kombiniramo konec prvega vektorja in začetek drugega, medtem ko uporabljamo vzporedni prevod, in ju povežemo. Dobljeni tretji vektor bo enak dodatku drugih dveh.

Pravilo paralelograma. Za dodajanje v skladu s tem pravilom je potrebno narisati oba vektorja iz ene točke in nato narisati še en vektor na koncu vsakega. To pomeni, da bo drugi sestavljen iz prvega vektorja, prvi pa iz drugega. Rezultat je nova presečna točka in nastane paralelogram. Če združimo presečišče začetkov in koncev vektorjev, bo dobljeni vektor rezultat dodatka.

Podobno je mogoče izvajati in odštevati.

Vektorska razlika

Podobno kot pri vektorskem dodajanju jih je mogoče odšteti. Temelji na načelu, prikazanem na spodnji sliki.

To pomeni, da je dovolj, da predstavimo odštevani vektor v obliki vektorja, nasprotnega zanj, in izračunamo po načelih dodatka.

Tudi absolutno vsak neničelni vektor se lahko pomnoži s poljubnim številom k, kar bo spremenilo njegovo dolžino k-krat.

Poleg teh obstajajo tudi druge formule vektorjev (na primer, da izrazimo dolžino vektorja skozi njegove koordinate).

Lokacija vektorjev

Zagotovo so se mnogi soočili s takšnim konceptom kot kolinearni vektor. Kaj je kolinearnost?

Kolinearnost vektorjev je ekvivalent vzporednih linij. Če dva vektorja ležita na ravnih črtah, ki so vzporedne druga z drugo, ali na eni premici, potem se ti vektorji imenujejo kolinearni.

Smer Med seboj so lahko kolinearni vektorji so-usmerjeni ali nasproti usmerjeni, to pa je odvisno od smeri vektorjev. Če je torej vektor so-usmerjen z drugim, potem je vektor, ki je nasproten, nasprotno usmerjen.

Na prvi sliki sta dva nasprotno usmerjena vektorja in tretji, ki nanje nista kolinearni.

Po uvedbi zgoraj navedenih lastnosti je mogoče podati definicijo in enake vektorje - to so vektorji, ki so usmerjeni v isto smer in imajo enako dolžino segmentov, iz katerih so oblikovani.

V mnogih znanostih se uporablja tudi koncept radijskega vektorja. Takšen vektor opisuje položaj ene točke ravnine glede na drugo fiksno točko (pogosto je to izvor).

Vektorji fizike

Recimo, da je pri reševanju problema nastalo stanje: telo se premika s hitrostjo 3 m / s. To pomeni, da se telo giblje z določeno smerjo v eni premici, zato bo ta spremenljivka vektorska vrednost. Za rešitev je pomembno poznati vrednost in smer, saj je lahko glede na upoštevanje hitrost enaka 3 m / s in -3 m / s.

V splošnem se vektor v fiziki uporablja za označevanje smeri sile, ki deluje na telo, in za določitev rezultata.

Ko so te sile prikazane na sliki, so označene s puščicami s podpisom vektorja nad njo. Klasično dolžina puščice je prav tako pomembna, s pomočjo katere kažejo, katera sila deluje močnejša, toda ta stranska lastnost se ne zanaša na to.

Vektor v linearni algebri in matematični analizi

Elemente linearnih prostorov imenujemo tudi vektorji, v tem primeru pa so urejeni sistemi števil, ki opisujejo nekatere elemente. Zato smer v tem primeru ni več pomembna. Vektorska definicija v klasični geometriji in v matematična analiza zelo razlikujejo.

Projekcijski vektorji

Predviden vektor - kaj je to?

Pogosto je za pravilen in priročen izračun potrebno razširiti vektor v dvodimenzionalnem ali tridimenzionalnem prostoru, vzdolž osi koordinat. Ta postopek je potreben, na primer, pri mehaniki pri izračunavanju sil, ki delujejo na telo. Vektor v fiziki se pogosto uporablja.

Za izvedbo projekcije je dovolj, da navzdol navpičnice od začetka in konca vektorja spustimo na vsako od koordinatnih osi, dobljene segmente pa imenujemo projekcija vektorja na os.

Za izračun dolžine projekcije je dovolj, da svojo začetno dolžino pomnožimo z določeno trigonometrično funkcijo, ki jo dobimo z reševanjem mini-problema. V bistvu obstaja pravokotni trikotnik pri čemer je hipotenuza izvirni vektor, ena od nog je projekcija, druga pa je spuščena pravokotno.