Pravila, po katerih dodajanje vektorjev

27. 6. 2019

Kako je dodajanje vektorjev, študentom ni vedno jasno. Otroci ne predstavljajo, kaj se skriva za njimi. Pravila si morate zapomniti in ne premisliti o bistvu. Zato gre za principe zbiranja in odštevanja vektorskih količin, ki zahtevajo veliko znanja.

Zaradi dodatka dveh ali več vektorjev se vedno dobi ena. Poleg tega bo vedno enako, ne glede na sprejem njegove lokacije.

Najpogosteje se v šoli pri geometriji šteje dodatek dveh vektorjev. Izvede se lahko po pravilu trikotnika ali paralelograma. Te slike so videti drugačne, vendar je rezultat akcije ena.

Kako se doda pravilo trikotnika?

Uporablja se, kadar vektorji niso kolinearni. To pomeni, da ne ležijo na eni črti ali na vzporednih črtah.

V tem primeru je treba prvi vektor prestaviti z neke poljubne točke. Od konca je potrebno voditi vzporednico in enako drugi. Rezultat bo vektor, ki izhaja iz začetka prvega in se konča na koncu drugega. Slika je podobna trikotniku. Od tod tudi ime pravila.

dodatek vektorja

Če so vektorji kolinearni, lahko uporabimo tudi to pravilo. Ob eni vrstici bo le risba.

Kako je dodajanje v skladu s pravilom paralelograma?

Spet? nanaša samo na ne-kolinearne vektorje. Gradnja poteka po drugačnem principu. Čeprav je začetek enak. Treba je odložiti prvi vektor. In od njenega začetka - drugega. Na podlagi njih dokončajte paralelogram in narišite diagonalo od začetka obeh vektorjev. Ona bo rezultat. To je način za dodajanje vektorjev glede na pravilo paralelograma.

dodajanje dveh vektorjev

Doslej sta bila dva. In kaj, če je 3 ali 10? Uporabite naslednji trik.

Kako in kdaj velja pravilo o poligonu?

Če želite izvesti dodajanje vektorjev, katerih število je več kot dva, se ne smete bati. Dovolj je, da jih vse preložimo zaporedoma in povežemo začetek verige z njegovim koncem. Ta vektor bo želena vsota.

Katere lastnosti veljajo za dejanja z vektorji?

O ničelnem vektorju. Kar potrjuje, da je ob dodajanju izvirnika pridobljen original.

Na nasprotnem vektorju. To je tista, ki ima nasprotno smer in je enaka velikosti vrednosti. Njihova vsota bo enaka nič.

O komutativnosti dodatka. Kaj je znano od osnovne šole. Spreminjanje krajev postavk ne spremeni rezultata. Z drugimi besedami, ne glede na to, kateri vektor naj se najprej odloži. Odgovor bo še vedno pravilen in edinstven.

O asociativnosti dodatka. Ta zakon vam omogoča, da v parih dodate vektorje iz trojne in jim dodate tretjega. Če ga napišete s pomočjo znakov, dobite naslednje:

prvo + (drugo + tretje) = drugo + (prvo + tretje) = tretje + (prvo + drugo).

pravilo vektorske dodatek

Kaj je znano o razliki vektorjev?

Ločena operacija odštevanja ne obstaja. To je posledica dejstva, da je pravzaprav dodatek. Samo druga od njih je v nasprotni smeri. In potem se vse stori, kot da bi upoštevali vektorsko dodajanje. Zato praktično ne govorijo o svojih razlikah.

Za poenostavitev dela z njihovim odštevanjem se spremeni pravilo trikotnika. Zdaj (pri odštevanju) je treba drugi vektor odložiti od začetka prvega. Odgovor bo tisti, ki povezuje končno točko odbitka z njim. Čeprav lahko odložite, kot je opisano prej, preprosto s spremembo smeri drugega.

Kako najti vsoto in razliko vektorjev v koordinatah?

Problem daje koordinate vektorjev in morate poznati njihove vrednosti za končni. V tej konstrukciji ni potrebno opravljati. To pomeni, da lahko uporabite preproste formule, ki opisujejo pravilo dodajanja vektorjev. Izgledajo takole:

a (x, y, z) + v (k, l, m) = c (x + k, y + l, z + m);

a (x, y, z) -c (k, l, m) = c (xk, il, zm).

Ni težko opaziti, da koordinate, ki jih morate dodati ali odšteti, odvisno od posamezne naloge.

dodajanje več vektorjev

Prvi primer rešitve

Stanje Glede na pravokotnik AVSD. Njene stranice so 6 in 8 cm, presečišče diagonal pa je označeno s črko O. Potrebno je izračunati razliko vektorjev AO in VO.

Odločitev. Najprej morate narisati te vektorje. Usmerjeni so iz tock pravokotnika do tocke preseka diagonal.

Če pogledate natančno risbo, lahko vidite, da so vektorji že poravnani, tako da je drugi od njih v stiku s koncem prvega. To je samo njegova napaka. Iz te točke se mora začeti. To je, če se vektorji seštejejo in v problemu - odštevanje. Stop To dejanje pomeni, da morate dodati nasprotno usmerjen vektor. To pomeni, da je treba VO zamenjati z OB. In izkaže se, da sta dva vektorja že oblikovala par strani iz pravila trikotnika. Zato je rezultat njihovega dodatka, to je želena razlika, vektor AB.

In sovpada s stranjo pravokotnika. Za zapis numeričnega odgovora bo potrebno naslednje. Narišite pravokotnik tako, da bo velika stran vodoravno. Oštevilčenje točk se začne od spodaj levo in se nadaljuje v nasprotni smeri. Nato je dolžina vektorja AB enaka 8 cm.

Odgovor je. Razlika med AO in VO je 8 cm.

vsota štirih vektorjev

Drugi primer in njegova podrobna rešitev

Stanje Rombični AVSD diagonale je 12 in 16 cm, točka njihovega presečišča pa je označena s črko O. Izračunajte dolžino vektorja, ki ga tvori razlika vektorjev AO in VO.

Odločitev. Naj bo oznaka tock romba enaka kot pri prejšnjem problemu. Podobno kot pri rešitvi prvega primera se izkaže, da je želena razlika enaka vektorju AB. Njena dolžina ni znana. Rešitev problema je bila zmanjšana, da se izračuna ena od strani romba.

V ta namen morate upoštevati trikotnik ABO. Pravokotna je, ker se diagonala romba seka pod kotom 90 stopinj. In njegove noge so enake polovici diagonal. To je 6 in 8 cm, stran, ki jo iščemo v problemu, sovpada s hipotenuzo v tem trikotniku.

Da bi jo našli, potrebujemo Pitagorov izrek. Kvadrat hipotenuze bo enak vsoti številk 6 2 in 8 2 . Po kvadriranju so vrednosti 36 in 64. Njihova vsota je 100. Iz tega sledi, da je hipotenuza 10 cm.

Odgovor je. Razlika med vektorji AO in HE je 10 cm.

Tretji primer s podrobno rešitvijo

Stanje Izračunajte razliko in vsoto dveh vektorjev. Njihove koordinate so znane: v prvem - 1 in 2, v drugem - 4 in 8.

Odločitev. Za določitev zneska boste morali v parih dodati prvo in drugo koordinato. Rezultat bo število 5 in 10. Odgovor bo vektor s koordinatami (5; 10).

Za razliko, ki jo potrebujete, izvedite odštevanje koordinat. Po izvedbi te akcije dobite številke -3 in -6. To bodo koordinate želenega vektorja.

Odgovor je. Vsota vektorjev je (5; 10), njihova razlika je (-3; -6).

primer dodajanja kolinearnih vektorjev

Četrti primer

Stanje Dolžina vektorja AB je 6 cm, BC - 8 cm, druga pa od konca prvega pod kotom 90 stopinj. Izračunajte: a) razliko modulov vektorjev BA in BC ter modula razlike BA in BC; b) vsota istih modulov in modul vsote.

Rešitev: a) Dolžine vektorjev so že podane v problemu. Zato za izračun njihove razlike ni težko. 6 - 8 = -2. Situacija z modulom razlike je nekoliko bolj zapletena. Najprej morate vedeti, kateri vektor bo rezultat odštevanja. V ta namen odložite vektor BA, ki je usmerjen v nasprotno smer AB. Nato od konca držite vektor sonca in ga usmerite v nasprotni smeri od izvirnika. Rezultat odštevanja je vektor CA. Njen modul je mogoče izračunati s Pitagorovim izrekom. Enostavni izračuni vodijo do vrednosti 10 cm.

b) Vsota modulov vektorjev je 14 cm, za iskanje drugega odgovora pa je potrebna določena konverzija. Vektor BA je nasprotno usmerjen s tistim, ki ga podaja - AB. Oba vektorja sta usmerjena iz ene točke. V tem primeru lahko uporabite pravilo paralelograma. Rezultat dodatka bo diagonal, ne le paralelogram, ampak pravokotnik. Njene diagonale so enake, kar pomeni, da je modul vsote enak kot v prejšnjem odstavku.

Odgovor: a) -2 in 10 cm; b) 14 in 10 cm.