Glavni tipi diferencialnih enačb prvega reda

Poiščite funkcijo f z določeno dano odvisnostjo, ki vključuje samo funkcijo z argumenti in njenimi derivati. Ta problem je pomemben v fiziki, kemiji, ekonomiji, tehnologiji in na drugih področjih znanosti. Takšne odvisnosti se imenujejo diferencialne enačbe. Na primer, y '- 2xy = 2 je diferencialna enačba prvega reda. Poglejmo, kako se rešujejo te vrste enačb.

Kaj je to?

Enačba, ki izgleda takole:

• f (y, y ', ..., y ⁽¹⁰⁾ , y ⁽¹¹⁾ , ..., y ^(k) , x) = 0,

Imenuje se navadna difur in je označena kot enačba reda k in je odvisna od x in derivatov y ', y' ', ... - do k-th.

Sorte

V primeru, ko je funkcija, ki jo najdemo v diferencialni enačbi, odvisna samo od enega argumenta, se tip diferencialne enačbe imenuje navaden. Z drugimi besedami, v enačbi je funkcija f in vsi njeni derivati ​​odvisni le od argumenta x.

Ko je iskana funkcija odvisna od več različnih argumentov, se enačbe imenujejo parcialni diferencialni derivati. Na splošno izgledajo tako:

• f (x, f _x ', ..., y, f _y ' ..., z, ..., f _z '', ...),

kjer izraz f _x 'pomeni izpeljanko funkcije glede na argument x, in f _z ' 'je dvojni derivat funkcije glede na argument z in tako naprej.

Rešitev

Ni težko uganiti, kaj natančno velja za rešitev diferenciala. enačbe. Ta funkcija, zamenjava katere v enačbi daje enak rezultat na obeh straneh enakovrednega znaka, se imenuje rešitev. Na primer, enačba t '' + a ² t = 0 ima rešitev v obliki t = 3Cos (ax) - Sin (ax):

Po poenostavitvi enačbe 3 ugotovimo, da je t '' + a ² t = 0 za vse vrednosti argumenta x. Vendar pa mora takoj rezervirati. Enačba t = 3Cos (ax) - Sin (ax) ni edina rešitev, ampak le ena od neskončnega množice, ki jo opisuje formula mCos (ax) + nSin (ax), kjer sta m in n poljubne številke.

Razlog za to razmerje je definicija primitivne funkcije v integralnem računu: če je Q primitivna (natančneje ena od mnogih) za funkcijo q, potem je (q (x) dx = Q (x) + C, kjer je C poljubna konstanta, ki je ničelna. inverzno delovanje - ob izhodu funkcije Q '(x).

Opustimo definicijo, kaj je rešitev k-te enačbe. Ni si težko predstavljati, da je večji vrstni red izpeljave, več konstante nastaja v procesu integracije. Pojasniti je treba tudi, da zgoraj opisana opredelitev za rešitev ni popolna. Toda za matematike v 17. stoletju je bilo dovolj.

V nadaljevanju bomo obravnavali le glavne vrste diferencialnih enačb prvega reda. Najbolj osnovna in preprosta. Poleg njih obstajajo tudi druge razlike. enačbe: homogene, polne razlike in Bernoullijeve. Toda rešitev vseh je pogosto povezana z metodo ločljivih spremenljivk, o čemer bomo govorili spodaj.

Ločevanje spremenljivk kot rešitev

F = 0 - je razlika. enačba reda 1. Pri reševanju te vrste diferencialnih enačb se zlahka zmanjšajo na obliko y '= f. Tako se npr. Enačba e ^{y '} - 1 - xy = 0 zmanjša na obliko y' = ln (1 + xy). Operacija zmanjšanja diferencialne enačbe na to obliko se imenuje njena resolucija glede na derivat y '.

Po rešitvi enačbe jo morate pripeljati v diferencialno obliko. To naredimo tako, da pomnožimo vse dele enakosti z dx. Iz y '= f dobimo y'dx = fdx. Glede na to, da je y'dx = dy, dobimo enačbo v obliki:

• dy = f dx - ki se imenuje diferencialna oblika.

Očitno je, da je y '= f (x) najenostavnejša diferencialna enačba prvega reda. Rešitev je dosežena z enostavno integracijo. Bolj zapletena oblika je q (y) * y '= p (x), v kateri je q (y) funkcija, ki je odvisna od y, in p (x) je funkcija, ki je odvisna od x. Ko smo jo pripeljali do diferencialne oblike, dobimo:

• q (y) dy = p (x) dx

Razumljivo je, zakaj se enačba imenuje razdeljena: njena leva stran vsebuje le spremenljivko y, desno pa samo x. Takšna enačba je rešena z naslednjim izrekom: če ima funkcija p primitivno P, in q ima Q, potem je difurski integral Q (y) = P (x) + C.

Rešimo enačbo z '(x) ctg (z) = 1 / x. Z zmanjšanjem te enačbe na diferencialno obliko: ctg (z) dz = dx / x; in upoštevanje integralov obeh delov ∫ctg (z) dz = dx / x; dobimo rešitev v splošni obliki: C + ln | sin (z) | = ln | x |. Zaradi lepote lahko to enačbo zapišemo v drugi obliki v skladu s pravili logaritmov, če nastavimo C = ln W - dobimo W | sin (z) | = | x | ali celo enostavnejše, WSin (z) = x.

Enačbe oblike dy / dx = q (y) p (x)

Ločitev spremenljivk se lahko uporabi za enačbe oblike y '= q (y) p (x). Potrebno je le upoštevati primer, ko q (y) za neko število a izgine. To pomeni, da je q (a) = 0. V tem primeru je funkcija y = a rešitev, ker je za nje y '= 0, zato je q (a) p (x) tudi nič. Za vse druge vrednosti, kjer q (y) ni enako 0, lahko zapišemo diferencialno obliko:

• p (x) dx = dy / q (y),

povezovanje, pridobitev skupne rešitve.

Rešimo enačbo S '= t ² (Sa) (Sb). Očitno so korenine enačbe številke a in b. Zato so S = a in S = b rešitve te enačbe. Za druge vrednosti S imamo diferencialno obliko: dS / [(Sa) (Sb)] = t ² dt. Od koder je enostavno dobiti skupni integral.

Enačbe oblike H (y) W (x) y '+ M (y) J (x) = 0

Z reševanjem te enačbe za y 'dobimo: y' = - C (x) D (y) / A (x) B (y). Diferencialna oblika te enačbe bo naslednja:

• W (x) H (y) dy + J (x) M (y) dx = 0

Za rešitev te enačbe moramo upoštevati ničelne primere. Če je a koren W (x), je x = a integral, ker iz tega izhaja, da je dx = 0. Podobno velja za primer, če je b koren M (y). Potem se za območje vrednosti x, za katerega W in M ​​ne izgineta, spremenljivke lahko delijo z delitvijo z izrazom W (x) M (y). Nato se izraz lahko integrira.

Številne vrste enačb, na katere na prvi pogled ni mogoče uporabiti ločevanja spremenljivk, se izkažejo za take. Na primer, v trigonometriji se to doseže z enakimi transformacijami. Pogosto je lahko tudi primerno, da se izvede nekaj duhovitih zamenjav, po katerem bo mogoče uporabiti metodo ločenih spremenljivk. Vrste diferencialnih enačb prvega reda lahko izgledajo zelo drugače.

Linearne enačbe

Enako pomembna vrsta diferencialnih enačb, katere rešitev se zgodi z zamenjavo in jih reducira na metodo ločenih spremenljivk.

• Q (x) y + P (x) y '= R (x) - je enačba, ki je linearna, kadar se obravnava glede na funkcijo in njen derivat. P, Q, R - so stalne funkcije.

Za primere, ko P (x) ni enak 0, je mogoče enačbo zmanjšati na obliko, rešeno glede na y ', pri čemer vse dele delimo s P (x).

• y '+ h (x) y = j (x), v katerem so h (x) in j (x) razmerja funkcij Q / P oziroma R / P.

Rešitev za linearne enačbe

Linearno enačbo lahko imenujemo homogeno v primeru, ko je j (x) = 0, to je h (x) y + y '= 0. Takšna enačba se imenuje homogena in se enostavno loči: y' / y = -h (x). Če jo integriramo, dobimo: ln | y | = -H (x) + ln (C). Če je y izraženo v obliki y = Ce ^{-H (x)} .

Na primer, z '= zCos (x). Če ločimo spremenljivke in reduciramo enačbo na diferencialno obliko in nato integriramo, dobimo, da bo splošna rešitev imela izraz y = Ce ^{Sin (x)} .

Neenotna je linearna enačba v svoji splošni obliki, tj. J (x) ni enaka 0. Njegova rešitev je sestavljena iz več stopenj. Najprej morate rešiti homogeno enačbo. To pomeni, da j (x) izenačimo z ničlo. Naj bo u ena od rešitev ustrezne homogene linearne enačbe. Potem drži identiteto u '+ h (x) u = 0.

Izvedite pri y '+ h (x) y = j (x) spremembo oblike y = uv in get (uv)' + h (x) uv = j (x) ali u'v + uv '+ h (x) uv = j (x). Ko smo enačbo vnesli v obliko u (u '+ h (x) u) + uv' = j (x), lahko vidimo, da je v prvem delu u '+ h (x) u = 0. Kje dobimo v' (x) = j (x) / u (x). Od tu izračunamo antivirusno =v = V + S. Po povratni zamenjavi najdemo y = u (V + C), kjer je u rešitev homogene enačbe, in V je primitivni odnos j / u.

Poiščite rešitev za enačbo y'-2xy = 2, ki se nanaša na tip diferencialnih enačb prvega reda. Če želite to narediti, se najprej odločite homogena enačba u '- 2xu = 0. Dobimo u = e ^2x + C. Za enostavnost je rešitev nastavljena na C = 0, ker za rešitev problema potrebujemo samo eno od rešitev in ne vseh vrst možnosti.

Potem nadomestimo y = vu in dobimo v '(x) u + v (u' (x) - 2u (x) x) = 2. Potem: v '(x) e ^2x = 2, od kod je v' (x) ) = 2e - ^2x . Potem je primitivna V (x) = -∫e ^-2x d (-2x) = - e ^-2x + C. Kot rezultat, je splošna rešitev za y '- 2xy = 2 y = uv = (-1) (e ^2x + C) ^e2x = - 1 - ^Ce2x .

Kako določiti vrsto diferencialne enačbe? To storite tako, da jo razrešite glede na izpeljani derivat in preverite, ali lahko uporabite metodo ločevanja spremenljivk neposredno ali z zamenjavo.