Diferencialna homogena enačba: značilnosti in rešitev

Analizirajmo enega od pomembnejših razredov diferencialnih enačb, ki jih rešimo tako, da jih z metodo substitucije - homogene enačbe zmanjšamo na metodo ločevanja spremenljivk. Obravnavali bomo metode rešitev linearne enačbe ki se pogosto zamenjujejo s homogenim.

Homogene enačbe

Za začetek podajamo definicijo. F je homogen, če je res, da je f (kx, ky) = f (x, y), kjer je k katero koli število, ki ni nič. Primeri homogene funkcije:

Da bi preverili njihovo homogenost, je dovolj, da argumente funkcije F ali A pomnožimo s faktorjem in vidimo, ali se zmanjša.

Zamenjava e (t) = f (1, t)

Nadalje je bilo rečeno, da se diferencialne enačbe s homogeno funkcijo z zamenjavo zmanjšajo na ločljive. Da bi to pojasnili, upoštevajte lemu.

Lema 1. Če je w homogena funkcija prve stopnje z argumenti x in y, potem je identiteta w (x, y) = e (y / x) resnična in e (t) = f (1, t).

Ta lema je dokazana na nepomemben način: za to moramo preprosto nastaviti k = 1 / x za vse nelinearne x.

Uporaba zamenjave za rešitev y '= f (x, y)

Recimo, da imamo y '= f, kjer je f homogena funkcija. Za rešitev homogene diferencialne enačbe, ki temelji na lemi 1, lahko predstavimo y '= e (y / x). Enačbo je mogoče rešiti z ločevanjem spremenljivk. Naj bo y / x = v želena funkcija. Torej y = xv in y '= v + xv'. Dobimo enačbo oblike v + xv '= e (v) ali xv' = e (v) - v.

Razmislite o tem bolj podrobno. V tem primeru so rešitve enačbe vse vrednosti v = v _n - točk, pri katerih funkcija [e (v) - v] izgine. V skladu s tem so vrednosti y _n = v _n x - rešitev y '= e (y / x). Na področju vrednosti, kjer [e (v) - v] ne izgine, lahko uporabimo ločevanje spremenljivk. To je:

Z integriranjem dobimo rešitev E = ln | x | + C.

Opomba

Razmislite, zakaj zgornja nadomestitev deluje pri reševanju homogenih diferencialnih enačb. V ta namen vzemite splošno rešitev E = ln | x | + C in nadomesti x s kx in y z ky: E = ln | kx | + C = ln (k) + ln | x | + C. Izraz ln (k) + C pa lahko predstavimo kot W, nato pa bo rešitev videti kot E = ln | x | + W.

Izkazalo se je, da zamenjava x s kx in y z ky vodi do zamenjave ene rešitve z drugo, vendar iz istega razreda. Z drugimi besedami, druga rešitev izpolnjuje tudi izvirno enačbo. Opisana lastnost na koordinatni ravnini se imenuje homothety, kar pomeni, da se integralne krivulje homogenih diferencialnih enačb preoblikujejo v druge.

Primer 1

Glede na enačbo l ² + ml + m ² l '+ m ² = 0. Poiščite njeno rešitev. Neizkušeno oko lahko naglo zaključi, da ta enačba ni homogena, saj zamenjava km namesto m in kn namesto n ne daje prvotne enačbe. Napaka v tem primeru je, da enačba prej ni bila rešena glede na derivat n '. Naredimo to.

V tej obliki je enostavno ugotoviti, da je enačba homogena.

Nadaljujemo do rešitve z zamenjavo l / m = v. Dobimo l = vm in l '= mv' + v. Te vrednosti nadomestite z enačbo:

Dobimo mv '= - (v + 1) ² . Očitno je, da je točka -1 'raztopina ujemanja enačbe in pred zamenjavo n = -m. Ko v + 1 ni enaka nič, delite spremenljivke:

Iz nastale enačbe v diferencialni obliki lahko enostavno najdemo skupni integral:

Izvedli bomo zamenjavo za vrnitev:

Prav tako ne smete pozabiti na prej ugotovljeno rešitev n = -m.

Linearne diferencialne enačbe

Pogosto se homogene diferencialne enačbe zamenjujejo z linearnimi. Zaradi popolnosti pa si poglejmo tudi ta razred. Diferencialna enačba se torej imenuje linearna, v kateri sta funkcija in njen derivat razporejeni v linearno razmerje, torej dobimo enačbo, ki ima naslednjo obliko:

• o (x) y '+ w (x) y = e (x);

w, o, e - predstavljajo vse funkcije.

Za rešitev te enačbe za y 'je potrebno upoštevati vse korenine o (x). Recimo, da je za neko število o (x ₀ ) = 0, potem je ena od rešitev opisane enačbe x ₀ , ker dobimo o (x ₀ ) dy = 0 in dx = 0. To postane očitno, če zapišemo diferencialno obliko enačbe z množenjem obeh strani z dx: o (x) dy + w (x) ydx = e (x) dx.

Z odpravo ničelnih vrednosti o (x) za preostale vrednosti x zapišemo enačbo v razrešeni obliki, ki jo delimo z o (x).

Reševanje linearnih diferencialnih enačb

V tem razredu enačb obstajata dve možnosti. Prvi je, ko je prosti izraz p (x) enak nič (homogeni), drugi pa je, ko je p (x) ničelna (nehomogena). Torej imamo naslednja dva primera:

• y '+ r (x) y = 0 je homogena enačba.
• y '+ r (x) y = p (x) je nehomogena enačba.

Homogena se enostavno zmanjša na razdeljeno obliko y '/ y = -r (x) ali dy / y = -r (x) dx. Po integraciji dobimo splošno rešitev za homogene enačbe: y = Ce ^{–r (x)} .

V splošnem primeru linearno enačbo (nehomogeno) rešujemo v več fazah:

1. Prvič, ustrezna enačba je rešena enotno: p (x) je običajno izenačena z 0. Predpostavimo, da je u želena rešitev, to je, da imamo u '+ r (x) u = 0. Zapomni si to identiteto.
2. V nehomogeni enačbi vpišemo substitucijo y = uv, nato (uv) '+ (uv) r (x) = p (x). Po nekaj transformacijah imamo v (r (x) u + u ') + uv' = p (x). S sklicevanjem na identiteto iz točke 1 dobimo v'u = p (x). V tem primeru se primitiv enostavno najde iz v '= p / u.
3. Posledično je nehomogena rešitev sestavljena iz dveh delov: u (C + V), kjer je u homogena raztopina z ničelno konstanto, V pa je primitivna za razmerje p / u.

Še ena zmeda homogenih enačb nastane pri obravnavi homogenih sistemov enačb. Vendar pa je to še ena zadeva, katere obravnava ne sodi v okvir tega člena.

Primeri

Glede na težavo. Treba je najti rešitev.

Očitno je, da je ta enačba neenakomerna, zato najprej rešimo naslednjo enačbo:

Treba je opozoriti, da je ena od rešitev enačbe y = 0. Iskanje splošne rešitve poteka preko diferencialne oblike, ki omogoča uporabo ločevanja spremenljivk:

Integracija vodi do rešitve: ln | y | = A - ln (1 + t ² ) / 2. Če predstavite A kot ln B, lahko rešitev elegantneje napišete:

Rešitev nehomogene enačbe je možna v drugem, na podoben način, ki se imenuje metoda variacije konstante ali Lagrangeove metode. Teoretično ga opisujemo.

V diferencialni enačbi oblike r (x) y + y '= p (x) spreminjamo y = c (x) e ^{-R (x)} , pri čemer je R (x) primitivna r (x) in z (x) - določiti neznano funkcijo.

Po vseh transformacijah se izkaže, da je c '(x) = e ^{R (x)} f (x). S tem je z (x) enostavno integriran. Če nadomestimo c (x) nazaj v y = c (x) e ^{-R (x)} , dobimo y = e ^{-R (x)} c (x) + De ^{-R (x)} - splošno rešitev enačbe, kjer je D konstanta , ki se pojavi, ko je c (x) integriran.

Z uporabo Lagrangeove metode za naš problem nastavimo:

Če to spremembo zamenjamo z izvirno enačbo, ugotovimo, da je c (t) = (1/2) t ² . Napišemo rešitev nehomogene enačbe:

Razmislite o drugem primeru. Poiščite rešitve (x - 2xy - y ² ) dy + y ² dx = 0. Upoštevajte, da je y = 0 ena od rešitev enačbe. S tem dejstvom lahko vse dele enačbe razdelimo z izrazom y ² dy. Po izvedbi nekaterih transformacij dobimo:

Treba je opozoriti, da smo se zdeli razviti odvisnost. Zakaj ne? X in y v funkciji sta enaki in odvisni drug od drugega. Zdaj ne rešujemo funkcije y (x), ampak x (y) in x ' _y nista nič drugega kot derivat funkcije x (y) glede na spremenljivko y. Ali dx / dy. V tej obliki je enostavno ugotoviti, da gre za nehomogeno enačbo, zato bomo to homogeno enačbo rešili tako:

Dobimo x = Cy ² e ^{1 / y} . Preostala je le rešitev izvirne enačbe z variacijsko metodo, ki določa x = y ² c (y) e ^{1 / y} . Po zamenjavi te nadomestitve v enačbi imamo:

Iz kje izračunamo, da je c (y) = e ^{-1 / y} + D. Rešitev problema bo naslednja:

y = 0

x = y ² + Dy ² e ^{1 / y} .

Preučili smo načine za reševanje linearnih homogenih enačb.