Kako najti območje mnogokotnika?

Pri problemih geometrije je pogosto potrebno izračunati površino mnogokotnika. Poleg tega lahko ima precej raznovrstno obliko - od znanega trikotnika do določenega n-gonila z nekaj nepredstavljivim številom tock. Poleg tega so ti mnogokotniki konveksni ali konkavni. V vsaki situaciji naj bi gradil na videzu slike. Tako se izkaže, da izberete najboljši način za rešitev problema. Oblika je lahko pravilna, kar bo bistveno poenostavilo rešitev problema.

Nekaj ​​teorije poligona

Če so narisane tri ali več ravnih črt, potem tvorijo določeno sliko. Da je poligon. S številom presečišč postane jasno, koliko točk bo imelo. Podajajo ime nastale figure. Lahko je:

• trikotnik;
• štirikotnik;
• penta ali šesterokotnik in tako naprej.

Takšna številka bo zagotovo značilna za dve določbi:

1. Sosednje stranice ne pripadajo eni ravni črti.
2. Ne-sosedne točke nimajo skupnih točk, kar pomeni, da se ne križajo.

Da bi razumeli, katere tocke so sosednje, morate videti, ali pripadajo isti strani. Če je tako, naslednji. V nasprotnem primeru jih lahko povežemo z segmentom, ki ga moramo imenovati diagonala. Lahko jih narišemo samo v poligonih, ki imajo več kot tri tocke.

Kakšne so njihove vrste?

Poligon z več kot štirimi vogali je lahko konveksen ali vbočen. Razlika med slednjimi je ta, da lahko nekatera njegova vozlišča ležijo na nasprotnih straneh ravne črte, ki poteka skozi poljubno stran mnogokotnika. V konveksnem delu so vsa vozlišča vedno na eni strani take črte.

V šolskem poteku geometrije je večino časa namenjena točno konveksnim figuram. Zato je v težavah potrebno najti območje konveksnega poligona. Potem je tu še formula preko polmera opisne kroge, ki vam omogoča, da najdete želeno vrednost za katerokoli obliko. V drugih primerih edinstvena rešitev ne obstaja. Za trikotnik je formula ena in za kvadrat ali trapez popolnoma drugačen. V primerih, ko je oblika nepravilna ali je veliko vrhov, je običajno, da jih razdelimo na preproste in znane.

Kaj storiti, če ima kos tri ali štiri vozlišča?

V prvem primeru bo trikotnik in lahko uporabite eno od formul:

• S = 1/2 * a * n, kjer je a stran, n je njegova višina;
• S = 1/2 * a * b * sin (A), kjer sta a in b stran trikotnika, A je kot med znanimi stranicami;
• S = √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)), kjer je c stran trikotnika, do že označenih dveh, p je pol-perimeter, to je vsota vseh treh strani, razdeljenih na dva dela. .

Slika s štirimi vozlišči je lahko paralelogram:

• S = a * n;
• S = 1/2 * d ₁ * d ₂ * sin (α), kjer sta d ₁ in d ₂ diagonale, α je kot med njimi;
• S = a * v * sin (α).

Formula za trapezna območja: S = n * (a + b) / 2, kjer sta a in b dolžine baz.

Kaj storiti s pravilnim mnogokotnikom z več kot štirimi vozlišči?

Za začetek je tako značilno dejstvo, da so v njej vse strani enake. Poleg tega ima poligon enake kote.

Če je okoli takšne figure opisan krog, bo njegov polmer sovpadal z odsekom od središča poligona do ene od tock. Zato za izračun območja pravilnega poligona z poljubnim številom tock potrebujemo naslednjo formulo:

S _n = 1/2 * n * R _n ² * sin (360º / n), kjer je n število tock poligona.

Iz njega je enostavno dobiti enega, ki je uporaben za posebne primere:

1. trikotniki: S = (3√3) / 4 * R2;
2. kvadrat: S = 2 * R2;
3. šesterokotnik: S = (3√3) / 2 * R2.

Položaj z napačno številko

Izhod za to, kako ugotoviti območje poligona, če ni pravilen in ga ni mogoče pripisati nobeni od prej znanih številk, je algoritem:

• razdelite ga v preproste oblike, kot so trikotniki, tako da se ne sekajo;
• izračunajte njihovo območje s katero koli formulo;
• dodajte vse rezultate.

Kaj storiti, če so v problemu podane koordinate tock poligona?

To pomeni, da je niz parov števil za vsako točko znan, ki omejuje strani slike. Običajno se zapišejo kot (x ₁ ; y ₁ ) za prvo, (x ₂ ; y ₂ ) za drugo in n-ta točka ima te vrednosti (x _n ; y _n ). Potem je območje mnogokotnika definirano kot vsota n izrazov. Vsaka od njih izgleda takole: ((y _{i + 1} + y _i ) / 2) * (x _{i + 1} - x _i ). V tem izrazu i se spreminja od ene do n.

Treba je opozoriti, da je znak rezultata odvisen od izogibanja obliki. Ko uporabite določeno formulo in se premaknete v smeri urinega kazalca, bo odgovor negativen.

Primer naloge

Stanje Koordinate toćk so podane z vrednostmi (0,6; 2,1), (1,8; 3,6), (2,2; 2,3), (3,6; 2,4), (3,1; 0,5). Potreben je za izračun območja poligona.

Odločitev. Po zgornji formuli bo prvi izraz (1,8 + 0,6) / 2 * (3,6 - 2,1). Tukaj boste morali vzeti vrednosti za igro in X iz druge in prve točke. Preprost izračun bo vodil do rezultata 1.8.

Podobno dobimo tudi drugi izraz: (2.2 + 1.8) / 2 * (2.3 - 3.6) = -2.6. Pri reševanju takšnih problemov se ne bojte negativnih vrednosti. Vse gre, kot bi moralo. To je načrtovano.

Podobno dobimo vrednosti za tretji (0,29), četrti (-6,365) in peti (2,96). Nato je skupna površina: 1,8 + (-2,6) + 0,29 + (-6,365) + 2,96 = - 3,915.

Svet za reševanje problema, za katerega je poligon upodobljen na papirju v celici

Najpogosteje je zmedeno, da je v podatkih prisotna le velikost celic. Vendar se izkaže, da več informacij ni potrebno. Priporočilo za rešitev tega problema je razdelitev oblike na številne trikotnike in pravokotnike. Njihovo območje je precej enostavno za štetje dolžine zabav, ki se nato zlahka preklopijo.

Pogosto pa je enostavnejši pristop. Sestoji iz risanja figure v pravokotnik in izračuna vrednosti njegovega območja. Nato preštejte področja teh elementov, ki so bili odveč. Odštejte jih od skupne vrednosti. Ta možnost včasih vključuje nekoliko manjše število ukrepov.