Trapezno območje: formule in metode izračuna

Za samozavestno in uspešno reševanje problemov v pouku geometrije ni dovolj, da se naučimo formul. Najprej morajo razumeti. Bati in še bolj sovražiti formule je neproduktivno. V tem članku bo razpoložljivi jezik analiziral različne načine, kako najti območje trapeza. Za boljše obvladovanje ustreznih pravil in izrekov bomo nekaj pozornosti posvetili njenim lastnostim. To bo pomagalo razumeti, kako delujejo pravila in v katerih primerih je treba uporabiti te ali tiste formule.

Določite trapez

Kakšna je ta številka na splošno? Trapez je mnogokotnik iz štirih vogalov z dvema vzporednima stranema. Druge dve strani trapeza se lahko nagneta pod različnimi koti. Njene vzporedne stranice se imenujejo baze, za ne-vzporedne strani pa se uporablja ime »strani« ali »bokov«. Takšne številke so precej pogoste v vsakdanjem življenju. Oblike trapeza so vidne v silhuetah oblačil, notranjih predmetov, pohištva, jedi in mnogih drugih. Trapez je lahko različnih vrst: vsestranski, enakostranični in pravokotni. Več podrobnosti o njihovih vrstah in lastnostih bomo razpravljali kasneje v članku.

Trapezne lastnosti

Na kratko se pogovorimo o lastnostih te številke. Vsota kotov, ki mejijo na obe strani, je vedno 180 °. Opozoriti je treba, da vsi koti trapeza dosegajo 360 °. Trapez ima koncept srednje črte. Če povežete središča strani s segmentom, bo to srednja črta. Označen je kot m. Srednja črta ima pomembne lastnosti: vedno je vzporedna z bazami (spomnimo se, da so baze prav tako vzporedne) in so enake njihovi polovici:

m = (a + b) / 2.

To definicijo je treba naučiti in razumeti, ker je ključ za reševanje številnih težav!

V trapezu lahko višino vedno znižate na podlago. Višina je pravokotna, pogosto označena s simbolom h, ki se črpa iz katere koli točke ene baze v drugo bazo ali njeno nadaljevanje. Srednja linija in višina pomagata najti območje trapeza. Takšne naloge so najpogostejše v šolskem geometrijskem predmetu in se redno pojavljajo med testnimi in izpitnimi dokumenti.

Najenostavnejše formule trapeznega območja

Oglejmo si dve najbolj priljubljeni in preprosti formuli, s katerimi pomagamo najti območje trapeza. Dovolj je, da višino pomnožimo s pol-seštevkom baz, da enostavno najdemo želeno:

S = h * (a + b) / 2.

V tej formuli a, b označujejo osnovo trapeza, h - višino. Za lažje zaznavanje so v tem članku znaki za množenje označeni s simbolom (*) v formulah, čeprav je v uradnih referenčnih knjigah znak za množenje običajno izpuščen.

Razmislite na primer.

Glede na: trapez z dvema osnovama 10 in 14 cm, višina je 7 cm. Kakšno je območje trapeza?

Analizirajmo rešitev tega problema. V skladu s to formulo morate najprej najti polovico vsot: (10 + 14) / 2 = 12. Torej, pol-vsota je 12 cm, zdaj pa pomnožimo polovico vsote z višino: 12 * 7 = 84. Najdeno je potrebno. Odgovor: površina trapeza je 84 kvadratnih metrov. glej

Druga znana formula pravi: površina trapeza je enaka zmnožku sredinske črte in višini trapeza. To je dejansko iz prejšnjega koncepta srednje črte: S = m * h.

Uporaba diagonal za izračune

Drug način za iskanje trapeznega območja dejansko ni tako zapleten. Povezan je z njegovimi diagonalami. V skladu s to formulo, da bi našli območje, je treba polovični produkt diagonal (d ₁ d ₂ ) pomnožiti s sinusom kota med njimi:

S = ½ d ₁ d ₂ sin a.

Razmislite o nalogi, ki kaže uporabo te metode. Glede na: trapez z dolžino diagonal 8 oziroma 13 cm, kot med diagonalami pa je 30 °. Poiščite območje trapeza.

Odločitev. Z uporabo zgornje formule je enostavno izračunati zahtevano. Kot veste, greh 30 ° je 0,5. Zato je S = 8 * 13 * 0.5 = 52. Odgovor: površina je 52 kvadratnih metrov. glej

Iščemo območje enakostranskega trapeza.

Trapez je lahko enakostranski (enakokračni). Njene stranice so enake in vogali na podlagah so enaki, kar dobro ponazarja risba. Enakostranski trapez ima enake lastnosti kot običajen in več posebnih. Krog lahko opišemo okoli ekvipolarnega trapeza in v njega lahko vtisnemo krog.

Kakšne so metode za izračun površine takšne številke? Naslednja metoda zahteva velike izračune. Da bi ga uporabili, morate poznati sinusne (sin) in kosinusne (cos) vrednosti kota na dnu trapeza. Za njihovo izračunavanje so potrebne tabele Bradis ali inženirski kalkulator. Tukaj je ta formula:

S = c * sin a * ( a - c * cos a ),

kjer je c bočno stegno, a je kot pri spodnji podlagi.

Enako stranski trapez ima diagonale enake dolžine. Prav tako je tudi obratno: če je diagonalni trapez enak, je to enakokračno. Zato je naslednja formula, ki pomaga najti območje trapeza, polovični produkt kvadrata diagonal na sinusu kota med njimi: S = ½ d ² sin a.

Poiščite območje pravokotnega trapeza

Znan poseben primer pravokotni trapez. To je trapez, v katerem je ena stran (njeno stegno) v bližini baz pod pravim kotom. Ima lastnosti običajnega trapeza. Poleg tega ima zelo zanimivo funkcijo. Razlika kvadratov diagonal takega trapeza je enaka razliki kvadratov njenih baz. Za to uporabljajo vse prej opisane metode za izračun območja.

Uporabi iznajdljivost

Obstaja en trik, ki lahko pomaga v primeru pozabljivosti določenih formul. Previdno razmislite, kakšen trapez. Če ga mentalno razdelimo na dele, bomo postali znani in razumljivi geometrijske oblike: kvadrat ali pravokotnik in trikotnik (eden ali dva). Če sta višina in stranice trapeza znani, lahko uporabite formule trikotniško območje in pravokotnik, nato seštejejo vse dobljene vrednosti.

To ponazarjamo z naslednjim primerom. Glede na pravokotni trapez. Kot C = 45 °, koti A, D so 90 °. Zgornja podlaga trapeza je 20 cm, višina je 16 cm, potrebno pa je izračunati površino slike.

Rešitev

Ta številka je očitno sestavljena iz pravokotnika (če sta oba kota 90 °) in trikotnika. Ker je trapez pravokoten, je njegova višina enaka njegovi strani, to je 16 cm, imamo pravokotnik s stranicami 20 in 16 cm. Razmislite o trikotniku, katerega kot je 45 °. Vemo, da je ena stran 16 cm, saj je ta stran hkrati višina trapeza (in vemo, da višina pade na podlago pod pravim kotom), zato je drugi kot trikotnika 90 °. Zato je preostali kot trikotnika 45 °. Posledica tega je, da dobimo pravokotni enakokračni trikotnik, katerega dve strani sta enaki. To pomeni, da je druga stran trikotnika enaka višini, to je 16 cm, še vedno pa je potrebno izračunati površino trikotnika in pravokotnika ter dodati dobljene vrednosti.

Območje pravokotni trikotnik enak polovici produkta njegovih nog: S = (16 * 16) / 2 = 128. Območje pravokotnika je enako zmnožku njegove širine po dolžini: S = 20 * 16 = 320. Našli smo zahtevano: območje trapeza S = 128 + 320 = 448 kvadrat. Z lahkoto lahko ponovno preverite z uporabo zgornjih formul, odgovor bo enak.

Uporabite izbirno formulo

Nazadnje predstavimo še eno izvirno formulo, ki pomaga najti območje trapeza. Imenuje se izbirna formula. Primerno ga je uporabiti, ko je trapez potegnjen na karirastem papirju. Podobne naloge pogosto najdemo v materialih GIA. Izgleda takole:

S = M / 2 + N - 1,

v tej formuli je M število vozlišč, tj. presečišče črte slike s črtami celice na mejah trapeza (oranžne pike na sliki), N število vozlišč znotraj številke (modre pike). To je najbolj priročno, da ga uporabite pri iskanju območja nepravilnega mnogokotnika. Vendar je večji je uporabljen arzenal metod, manj napak in boljši rezultati.

Seveda dane informacije še zdaleč niso izčrpane z vrstami in lastnostmi trapeza, pa tudi z metodami iskanja območja. V tem članku je podan pregled njegovih najpomembnejših značilnosti. Pri reševanju geometrijskih problemov je pomembno, da delujemo postopoma, začnemo z enostavnimi formulami in naloge, ki dosledno utrjujejo razumevanje, premikamo na drugo raven kompleksnosti.

Sestavljanje najpogostejših formul bo pomagalo učencem, da se usmerijo na različne načine za izračun površine trapeza in se bolje pripravijo na teste in teste na to temo.