V tem članku bomo preučili shemo za proučevanje funkcije in podali primere študij o skrajnostih, monotonosti in asimptotah te funkcije.
Teorem. Če je funkcija g kontinuirana na [a, b] , ki se razlikuje z (a; b) in g '(x) ≥ 0 (g' (x) ≤0) , xê (a; b) , potem se g povečuje (zmanjšuje) za [a, b] .
Primer:
y = 1: 3x 3 - 6: 2x 2 + 5x.
DHS: xR
y '= x 2 + 6x + 5.
Poišči intervale konstantnih znakov y ' . Ker je y ' osnovna funkcija, lahko spremeni znake samo na točkah, kjer se spremeni na nič ali ne obstaja. Njen DHS: xR .
Poiščite točke, od katerih je izpeljan 0 (nič):
y '= 0;
x = -1; -5.
Torej, y raste na (-∞; -5] in na [-1; + ∞), y spušča na [1; 2] .
T. x 0 se imenuje maksimalna točka (max) na množici A funkcije g, ko se na tej točki upošteva vrednost g (x 0 ) ≥ g (x), xêA .
T. x 0 se imenuje najmanjša točka (min) funkcije g na množici A, če je na tej točki kot funkcija upoštevana najmanjša g (x 0 ) ≤ g (x), xêA.
Na nizu A se največje točke (max) in minimalne (min) imenujejo ekstremne točke g . Takšne skrajnosti se imenujejo tudi absolutne skrajnosti .
Če je x 0 ekstremna točka g v določenem okrožju, potem se x 0 imenuje točka lokalnega ali lokalnega ekstrema (max ali min) g.
Teorem (zahteva pogoj). Če je x 0 ekstremna točka (lokalne) funkcije g , potem derivat ne obstaja ali je enak r. 0 (nič).
Opredelitev Kritične točke so točke z neobstoječim ali enakim 0 (ničelnim) derivatom. Te podatkovne točke so sumljive za ekstrem.
Teorem (pogoj št. 1). Če je funkcija g kontinuirana v določeni soseščini t. X 0 in znak spremeni svoj derivat pri prehodu, potem je ta točka ekstrema g .
Teorem (pogoj št. 2). Naj bo funkcija v določenem okraju dvakrat diferencirana in g '= 0 in g' '> 0 (g' '<0) , potem ta točka je točka največje (max) ali minimalne (min) funkcije.
Funkcija se imenuje konveksna navzdol (ali konkavna) na intervalu (a, b), kadar graf funkcije ni višji od sekancev na intervalu za katerikoli x z (a, b), ki poteka skozi te točke .
Funkcija bo konveksna strogo navzdol na (a, b) , če - graf leži pod sekacijo vrzeli.
Funkcija se imenuje konveksna navzgor (konveksna) na intervalu (a, b) , če je za katerokoli točko t s (a, b) graf funkcije na intervalu ni nižji od sekance, ki teče skozi abscis na teh točkah .
Funkcija bo strogo konveksna navzgor na (a, b ), če - graf na intervalu leži nad sekantom.
Če je funkcija v okrožju točka je neprekinjen in po t. x 0 funkcija spremeni konveksnost pri prehodu, ta točka pa se imenuje prevojna točka funkcije.
Opredelitev Ravna črta se imenuje asimptota g (x), če se na neskončni razdalji od izvora koordinat približuje točka funkcije grafov: d (M, l).
Asimptote so lahko navpične, vodoravne in poševne.
Navpična črta z enačbo x = x 0 bo asimptota navpičnega grafa funkcije g če v t. x 0 je neskončna vrzel, tj. vsaj ena leva ali desna meja na tej točki je neskončnost.
Če je funkcija neprekinjena na [a, b] , potem je po Weierstrassovem izreku največja vrednost in najmanjša vrednost na tem segmentu, to pomeni, da obstajajo točke t, ki pripadajo [a, b], tako da je g (x 1 ) ≤ g (x) <g (x 2 ), x 2 ê [a, b]. Iz izrekov o monotonosti in skrajnostih dobimo naslednjo shemo za proučevanje funkcije na segmentu za najmanjšo in največjo vrednost.
Načrt
Opomba Če želite preučiti funkcijo na končnem intervalu (a, b) ali na neskončnem (-∞; b); (-∞; + ∞) na max in min vrednosti, nato pa v načrtu namesto vrednosti funkcije na koncih reže iščejo ustrezne enostranske meje: namesto f (a) se poišče f (a +) = limf (x) , namesto f (b), f (-b) Tako lahko najdete funkcije LDU na intervalu, ker v tem primeru absolutne skrajnosti ne obstajajo nujno.
Naloga. Potrebno je zgraditi pravokotno ploščad, ki ima mrežne merilce, ob steni, tako da se na eni strani prilega steni, na preostalih treh pa je ograjena z mrežo. Na kakšnem razmerju bo območje takšnega mesta največje?
S = xy je funkcija dveh spremenljivk.
S = x (a - 2x) - funkcija 1. spremenljivke ; x ê [0; a: 2].
S = ax - 2x 2 ; S '= a - 4x = 0, xêR, x = a: 4.
S (a: 4) = a 2 : 8 je najvišja vrednost;
S (0) = 0.
Poiščite drugo stran pravokotnika: = a: 2.
Razmerje: y: x = 2.
Odgovor je. Največja površina je enaka 2/8 , če je stran, ki je vzporedna steni, 2-krat večja od druge strani.
Primer 1
Je y = x 3 : (1-x) 2 . Opravite raziskave.
Gap: x = 1;
limx 3 : (1 - x) 2 = ∞ - prekinitev 2. vrste (neskončno), tako da je v točki 1 navpična asimptota;
x = 1 je navpična asimptotna enačba.
5. y '= x 2 (3 - x): (1 - x) 3 ;
DHS (y '): x; 1;
x = 1 - kritična točka.
y '= 0;
0; 3 - kritične točke.
6. y "= 6x: (1 - x) 4 ;
Kritična t: 1, 0;
x = 0 - m. kink, y (0) = 0.
7. limx 3 : (1 - 2x + x 2 ) = ∞ - ni horizontalne asimptote, lahko pa je nagnjena.
k = 1 je število;
b = 2 je število.
Zato je asimptota nagnjena y = x + 2 pri + ∞ in pri - ∞.
Primer 2
Glede na y = (x 2 + 1): (x - 1). Izdelati in raziskati. Zgradite graf.
1. Domena obstoja je celotna numerična vrstica, razen m. X = 1 .
2. y seka OY (če je mogoče) v m. (0; g (0)) . Najdi y (0) = -1 - t križišče OY .
Točke presečišča grafa z OX najdemo tako, da rešimo enačbo y = 0 . Korenska enačba nima veljavne, zato ta funkcija ne seka OX .
3. Funkcija ni periodična. Upoštevajte izraz
g (-x) (g (x) in g (-x) -g (x) . To pomeni, da gre za generično funkcijo (niti ni niti nenavadno).
4. T. x = 1 vrzel ima drugo vrsto. Na vseh drugih točkah je funkcija neprekinjena.
5 Funkcija pregleda na ekstremu:
(x 2 - 2x - 1): (x - 1) 2 = y '
in rešimo enačbo y '= 0.
Torej, 1 - ,2, 1 + √2, 1 - kritične točke ali točke možnega ekstrema. Te točke delijo numerično vrstico v štiri intervale .
Pri vsakem intervalu ima derivat določen znak, ki ga lahko nastavimo z metodo intervalov ali z izračunom vrednosti izvedene vrednosti na posameznih točkah. Na intervalih (-∞; 1 - ) 2 ) U ( 1 + ; 2 ; ∞) pozitivni derivat pomeni, da funkcija raste; če je xê ( 1 - ; 2 ; 1) U (1; 1 + √2 ) , potem se funkcija zmanjša, ker je v teh intervalih derivat negativen. Skozi t X 1, ko gremo (premikanje od leve proti desni), spreminjamo izpeljani znak iz "+" v "-", zato je na tej točki lokalni maksimum, najdemo
y max = 2 - 2 .2.
Ko greste skozi x 2, spremeni izpeljani znak iz "-" v "+", zato je na tej točki lokalni minimum in
y mix = 2 + 2√2.
T. x = 1 ni tako ekstremno.
6. 4: (x - 1) 3 = y ".
Pri (-∞; 1 ) 0> y ' je torej na tem intervalu krivulja konveksna; če je xê ( 1 ; ∞) - krivulja je konkavna. V točki 1 funkcija ni definirana, zato ta točka ni prevojna točka.
7 Iz rezultatov odstavka 4 sledi, da je x = 1 asimptotna vertikalna krivulja.
Horizontalne asimptote niso prisotne.
x + 1 = y je asimptota, ki je nagnjena s to krivuljo. Drugih asimptotov ni.
8. Glede na opravljeno raziskavo gradimo graf (glej sliko zgoraj).