Kako izračunati prostornino različnih geometrijskih teles?

Med stereometrijo je eno od glavnih vprašanj, kako izračunati prostornino določenega geometrijskega telesa. Vse se začne s preprostim paralelepipedom in konča z žogo.

Tudi v življenju se pogosto soočajo s podobnimi težavami. Na primer, za izračun količine vode, ki je postavljena v vedro ali sod.

Lastnosti poštene do volumna vsakega telesa

1. Ta vrednost je vedno pozitivno število.
2. Če lahko telo razdelimo na dele, tako da ni križišč, je skupna prostornina enaka vsoti volumnov delov.
3. Enaki organi imajo enak obseg.
4. Če se manjše telo popolnoma prilega večji, potem je volumen prvega manjši od drugega.

Splošni zapis za vse organe

V vsakem od njih so robovi in ​​podlage, v katerih so zgrajene višine. Zato so takšni elementi za njih enako označeni. Tako so zapisane v formulah. Kako izračunati prostornino vsakega telesa - bomo se še naučili in uporabili nova znanja v praksi.

Nekatere formule imajo druge vrednosti. O njihovi določitvi se bo razpravljalo, ko se bo pojavila taka potreba.

Prizma, paralelepiped (ravna in poševna) in kocka

Ta telesa so združena, ker so videti zelo podobna, in formule za izračunavanje obsega so enake:

V = S ₀ * h.

Samo S _{0 se} bo razlikovalo. V primeru paralelepipeda se izračuna kot za pravokotnik ali kvadrat. V prizmi je lahko osnova trikotnik, paralelogram, poljuben štirikotnik ali drug poligon.

Za kocko je formula znatno poenostavljena, saj so vse njene dimenzije enake:

V = a ³ .

Piramida, tetraeder, okrnjena piramida

Za prvo od teh teles obstaja taka formula za izračun obsega:

V = 1/3 * S ₀ * n.

Tetraeder je poseben primer trikotne piramide. Vsi robovi so enaki. Zato ponovno dobimo poenostavljeno formulo:

V = (a ³ * )2) / 12 ali V = _^1/3 S ₀ h

Okrnjena piramida postane, ko je njen zgornji del odrezan. Zato je njegov volumen enak razliki med dvema piramidama: tisto, ki bi bila nepoškodovana, in oddaljenim vrhom. Če je možno najti obe osnovi takšne piramide (S ₁ je večja in S2 je manjša), potem je primerno uporabiti to formulo za izračun prostornine:

V = 1/3 * h * (S ₁ + √ (S ₁ S ₂ ) + S ₂ ).

Cilinder, stožec in prisekan stožec

Če želite izračunati volumen valja Uporabite lahko formulo, ki je določena za prizmo. Včasih je primerno, da jo napišete v tej obliki:

V = π * r ² * h.

Stanje s stožcem je nekoliko bolj zapleteno. Za njega obstaja formula:

V = 1/3 π * r ² * h. Je zelo podobna tisti, ki je prikazan za jeklenko, le vrednost se zmanjša trikrat.

Tako kot pri okrnjeni piramidi, situacija ni lahka s stožcem, ki ima dve osnovi. Formula za izračun prostornine okrnjenega stožca je naslednja:

V = 1/3 π * h * (r ₁ ² + r ₁ r ₂ + r ₂ ² ). Tu je r1 polmer spodnje osnove, r ₂ je zgornji (manjši).

Odseki in sektor

Te formule so najtežje zapomniti. Za volumen žoge izgleda tako:

V = 4/3 π * r ³ .

V težavah je pogosto vprašanje, kako izračunati prostornino sferičnega segmenta - del krogle, ki je, tako rekoč, izrezana vzporedno s premerom. V tem primeru se bo rešila naslednja formula:

V = π h ² * (r - h / 3). V njej, za h, vzamemo višino segmenta, to je del, ki gre vzdolž polmera krogle.

Sektor je razdeljen na dva dela: stožec in segment krogle. Zato je njegov obseg opredeljen kot vsota teh teles. Formula po transformaciji izgleda takole:

V = 2/3 πr ² * h. Tu je h tudi višina segmenta.

Primeri nalog

Pro cilindrični, krogelni in stožčasti volumen

Pogoj: premer valja (1 telo) je enak njegovi višini, premeru krogle (2 karoseriji) in višini stožca (3 telo); preverite sorazmernost prostornin V ₁ : V ₂ : V ₃ = 3: 2: 1

Odločitev. Najprej morate napisati tri formule za količine. Potem upoštevajte, da je polmer polovičnega premera. To pomeni, da bo višina enaka dvema polmeroma: h = 2r. Po preprosti zamenjavi se izkaže, da bodo formule za volumne izgledale tako:

V ₁ = 2 π r ³ ; V ₃ = 2/3 π r ³ . Formula za volumen krogle se ne spremeni, ker se v njej ne pojavi višina.

Zdaj je ostalo, da zapišemo razmerje med prostornino in zmanjšamo 2π in r3. Izkazalo se je, da V ₁ : V ₂ : V ₃ = 1: 2/3: 1/3. Te številke vodijo do zapisa 3: 2: 1.

Odgovor je. V ₁ : V ₂ : V ₃ = 3: 2: 1.

O obsegu žoge

Pogoj: dva lubenica s polmerom 15 in 20 cm; Kateri je najprimernejši način, da jih pojedemo: prvih štirih ali drugega od drugega?

Odločitev. Če želite odgovoriti na to vprašanje, morate najti razmerje med količinami kosov, ki jih boste dobili iz vsake lubenice. Ob upoštevanju, da so žoge, morate zapisati dve formuli za količine. Potem upoštevajte, da bo od prvega dobil le četrti del, od drugega pa osmi.

Še vedno je treba zabeležiti razmerje med količinami delov. Izgledalo bo tako:

(V ₁ : 4) / (V ₂ : 8) = (1/3 π r ₁ ³ ) / (1/6 π r ₂ ³ ). Po konverziji ostane samo frakcija: (2 r ₁ ³ ) / r ₂ ³ . Po zamenjavi vrednosti in izračunov dobimo frakcijo 6750/8000. Iz nje je razvidno, da bo del prve lubenice manjši od drugega.

Odgovor je. Bolj ugodno je jesti osmi del lubenice s polmerom 20 cm.

O obsegu piramide in kocke

Stanje: glinena piramida s pravokotno osnovo 8x9 cm in višino 9 cm; iz istega gline so naredili kocko; kakšen je njegov rob?

Odločitev. Če označimo stranice pravokotnika s črkami v in z, potem se površina baze piramide izračuna kot njihov izdelek. Potem formula za njen obseg:

V ₁ = 1/3 * sonce * h.

Formula za prostornino kocke je zapisana v zgornjem članku. Ti dve vrednosti sta enaki: V ₁ = V ₂ . Ostaja, da enačimo desno stran formul in naredimo potrebne izračune. Izkazalo se je, da bo rob kocke enak 6 cm.

Odgovor je. a = 6 cm

O volumnu paralelepipeda

Pogoj: potrebno je izdelati škatlo s prostornino 0,96 m ³ , poznana je njena širina in dolžina - 1,2 in 0,8 m; Kakšna naj bi bila njegova višina?

Odločitev. Ker je osnova paralelepipeda pravokotnik, je njegovo območje definirano kot produkt dolžine (a) in širine (c). Zato formula za obseg izgleda takole:

V = a * c * n.

Iz nje je enostavno določiti višino tako, da delimo volumen po območju. Izkazalo se je, da mora biti višina enaka 1 m.

Odgovor je. Višina škatle je en meter.