Kako je formuliran in dokazan kosinusni izrek?

Ne vsi učenci in še bolj odrasli vedo, da je kosinusni izrek neposredno povezan s Pitagorovim izrekom. Natančneje, slednji je poseben primer prvega. Ta trenutek, pa tudi dva načina za dokazovanje kosinusovega izreka, vam bo pomagal postati bolj usposobljena oseba. Poleg tega je praksa izražanja vrednosti iz izvirnih izrazov dobro razvito logično razmišljanje. Dolga formula teorema, ki se preučuje, bo zagotovo prisilila osebo, da dela in izboljšuje.

Začetek pogovora: uvedba simbolov

Ta izrek je oblikovan in dokazan za poljuben trikotnik. Zato ga je mogoče vedno uporabiti, v vsaki situaciji, če sta podani dve strani, v nekaterih primerih trije in kot, in ne nujno med njimi. Karkoli vrste trikotnika izrek vedno deluje.

In zdaj o označevanju količin v vseh izrazih. Bolje je, da se takoj strinjate, da ne bi večkrat pojasnili. Za to se pripravi naslednja tabela.

Oblikovanje in matematično pisanje

Torej je izrek o kosinusu oblikovan takole:

Kvadrat strani vsakega trikotnika je enak vsoti kvadratov drugih dveh njegovih strani, minus dvakratni produkt istih strani s kosinusom kota, ki leži med njimi.

Seveda je dolga, toda če razumete njeno bistvo, se bo enostavno spomniti. Lahko si celo predstavljate risbo trikotnika. Vizualno vedno lažje zapomniti.

Formula tega izreka bo izgledala takole:

a ² = ² + s ² - 2 * c * s * cos A.

Malo dolgo, vendar je vse logično. Če pogledate malo bližje, lahko vidite, da se črke ponavljajo, tako da je enostavno zapomniti.

Skupni dokaz teorema

Ker je veljaven za vse trikotnike, je možno izbrati razloge za vse tipe. Naj bo slika z vsemi ostrimi vogali. Razmislite o poljubnem akutnem trikotniku, katerega kot C je večji od kota B. Iz tocke s tem velikim kotom morate spustiti pravokotno na nasprotno stran. Višina drži trikotnik na dva pravokotna. To je potrebno za dokaz.

Stran bo razdeljena na dva segmenta: x, y. Treba jih je izraziti v znanih izrazih. Del, ki se izkaže, da je v trikotniku s hipotenuzo, ki je enak, bo izražen s pisanjem:

x = v * cos A.

Druga bo enaka tej razliki:

y = s - v * cos A.

Zdaj moramo napisati Pitagorov izrek za dva, ki iz tega izhajajo desni trikotniki na neznani višini. Te formule bodo videti tako:

n ² = v ² - (v * cos A) ² ,

n ² = a ² - (c - c * cos A) ² .

V teh enakostih so enaki izrazi na levi. Zato bodo tudi njihove desne strani enake. To je enostavno napisati. Zdaj morate odpreti oklepaje:

v ² - v ² * (cos A) ² = a ² - s ² + 2 с * v * cos A - v ² * (cos A) ² .

Če izvedemo prenos in redukcijo takih izrazov, dobimo začetno formulo, ki je napisana za besedilom, to je kosinusovim izrek. Dokaz je popoln.

Dokazovanje izreka skozi vektorje

Je veliko krajši od prejšnjega. In če poznate lastnosti vektorjev, se bo kosinusni izrek za trikotnik preprosto dokazal.

Če so strani a, b, c označene z vektorji BC, AC in AB, potem velja enakost:

SU = AC - AB.

Zdaj morate izvesti nekaj dejanj. Prva izmed njih je kvadriranje obeh strani enakosti:

BC ² = AC ² + AB ² - 2 AC * AB.

Nato je treba enakost ponoviti v skalarni obliki, glede na to, da je produkt vektorjev enak kosinusu kota med njimi in njihovimi skalarnimi vrednostmi:

BC ² = AC ² + AB ² - 2 AC * AB * cos A.

Ostaja le, da se vrnemo k staremu zapisu, in spet se izkaže izrek o kosinusu:

a ² = ² + s ² - 2 * c * s * cos A.

Formule za druge strani in vse kote

Da bi našli stran, iz izreka o kosinusu morate izvleči kvadratni koren. Formula za kvadrate ene od drugih strani bo izgledala takole:

z ² = a ² + do ² - 2 * a * do * cos C.

Če želimo zapisati izraz za kvadrat strani, je potrebno zamenjati prejšnjo enakost z od do, in obratno, in postaviti kot B pod kosinus.

Iz osnovne formule izreka lahko izrazimo vrednost kosinusa kota A:

cos A = (v ² + s ² - a ² ) / (2 v * s).

Formule za druge kote dobimo na enak način. To je dobra praksa, tako da jih lahko poskusite sami napisati.

Seveda teh formul ni treba zapomniti. Dovolj je razumeti teorem in sposobnost, da te izraze izpeljemo iz njegovega glavnega zapisa.

Prvotna formula izreka omogoča, da najdemo stran, če kot ni med dvema znanima. Na primer, morate najti v , če ste podali vrednosti: a, c, a . Ali pa je neznana, vendar obstajajo vrednosti a, b, a .

V tem primeru morate premakniti vse formule dodatka v levo. Ta enakost je pridobljena:

s ² - 2 * v * с * cos А + в ² - а ² = 0.

Ponovno ga napišite v nekoliko drugačni obliki:

z ² - (2 * v * cos A) * z + (v ² - in ² ) = 0.

Lahko preprosto vidite kvadratno enačbo. V njem je neznana količina c in vsi drugi so podani. Zato je dovolj, da ga rešimo z diskriminantnim. Tako bomo našli neznano stran.

Podobno dobimo formulo za drugo stran:

² - (2 * s * cos A) * c + (c ² - a ² ) = 0.

Iz drugih izrazov so tudi te formule preprosto dobili sami.

Kako izračunati kot brez izračuna kosinusa?

Če natančno pogledate formulo kosinusnega kota, ki ste jo dobili prej, boste opazili naslednje:

• imenovalec frakcije je vedno pozitivno število, ker vsebuje produkt strani, ki ne morejo biti negativne;
• kot je odvisen od znaka števca.

Kot A bo:

• v primeru, ko je števec večji od nič;
• če je ta izraz negativen;
• neposredno, ko je nič.

Mimogrede, slednje stanje pretvori kosinusov izrek v Pitagorov izrek. Ker je za kot 90 °, njegov kosinus nič, in zadnji člen izgine.

Prva naloga

Stanje

Tisti kot nekega poljubnega trikotnika je 120º. O straneh, na katere je omejen, je znano, da je eden od njih 8 cm daljši od drugega, znana je dolžina tretje strani, je 28 cm, potrebno je najti obod trikotnika.

Rešitev

Najprej morate označiti eno od strani s črko »x«. V tem primeru bo druga enaka (x + 8). Ker obstajajo izrazi za vse tri strani, lahko uporabite formulo, ki jo daje kosinusov izrek:

28 ² = (x + 8) ² + x ² - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.

V tabelah za kosinusov morate najti vrednost, ki ustreza 120 stopinjam. To bo številka 0,5 z znakom minus. Zdaj je potrebno odpreti oklepaje, pri tem pa upoštevati vsa pravila in podati podobne izraze:

784 = x ² + 16x + 64 + x ² - 2x * (-0,5) * (x + 8);

784 = 2x2 + 16x + 64 + x2 + 8x;

3x ² + 24x - 720 = 0.

Ta kvadratna enačba je rešena z iskanjem diskriminanta, ki bo enak:

D = 24 ² - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Ker je njegova vrednost večja od nič, ima enačba dva korenska odgovora.

x ₁ = ((-24) + √ (9216)) / (2 * 3) = 12;

x ₂ = ((-24) - √ (9216)) / (2 * 3) = -20.

Zadnji koren ne more biti odgovor na problem, saj mora biti stranka nujno pozitivna.

Obe strani sta znani. Enostavno najti tretje: 12 + 8 = 20 (cm). Zdaj lahko odgovorite na vprašanje problema. Obod trikotnika je opredeljen kot vsota vseh strank:

24 + 12 + 20 = 60 (cm).

Odgovor : obseg je 60 centimetrov.

Problem številka 2

Stanje

V trikotniku so znani: c , enaka 2 cm; a , ki je 10 cm; kot C vrednosti 120 °. Potrebno je najti stran.

Rešitev

Najprej morate uporabiti izrek o kosinusu in izpeljati formulo kvadratna enačba v kateri vrednost v bo neznana:

z ² = a ² + v ² - 2 * a * v * cos C

in

v ² - (2 * a * cos C) * v + (a ² - c ² ) = 0.

Vse znane vrednosti je treba nadomestiti v pogoju:

v ² - (2 * 10 * cos 120º) * v + (10 ² - 2 ² ) = 0.

Zdaj moramo prešteti, kaj je mogoče, da poenostavimo izraz:

v ² - (20 * (-1/2)) * v + (100 - 4) = 0

ali

v ² + 10 * v - 96 = 0.

To je standardna kvadratna enačba, ki jo je treba rešiti z iskanjem diskriminantne:

D = (10) ² - 4 * 1 * (-96) = 484.

V skladu s formulami morate narediti izračune za neznano stran:

v ₁ = (- 10 + 22) / 2 = 6 (cm);

pri ₂ = (- 10 - 22) / 2 = - 16 - ta koren ne ustreza rešitvi problema, ker stran ne more biti negativna.

Odgovor: neznana stran je 6 cm.

Tretja naloga

Stanje

V nekem trikotniku so podane stranice: a, b, c , ki so 6 cm, 10 cm in 8 cm, zato je potrebno izračunati kot A.

Rešitev

Spet morate uporabiti kosinusni izrek. Uporabljen je njen zapis, v katerem je kosinus kota A, saj je treba to izračunati. Tu je formula za kosinus neznanega kota:

cos A = (v ² + s ² - a ² ) / (2 v * s).

Še vedno je treba nadomestiti vrednosti strank in izvesti vse izračune:

cos A = (10 ² + 8 ² - 6 ² ) / (2 * 8 * 10).

Ko so vsi izrazi kvadratni in pomnožite številke iz imenovalca:

cos A = (100 + 64 - 36) / (160).

Po dodatku in delitvi se izkaže:

cos A = 128/160 = 0,8.

Zdaj morate uporabiti tabelo Bradis, da ugotovite, kateri kot A. je najbližji kot za ta kosinus 36 ° 54´.

Odgovor: vrednost kota A je 36º54´.