Kakšno je načelo kmetije?

XVII. Stoletje je zaznamoval hiter razvoj posebnega dela fizike - optike v Evropi. Zakoni refleksije in loma so bili odprti za svetlobo in Fermatovo načelo je pokazalo, zakaj imajo ustrezno matematično obliko. Poglejmo podrobneje, kaj je to načelo.

Refrakcijski in refleksijski pojavi

Z refleksijo razumejo pojav, v katerem se svetloba, ki se širi s snovjo, ki ji je razpršena, srečuje z oviro na svoji poti in drastično spreminja svojo pot. Vsaka ovira je lahko katera koli: tekoča ali trdna, prozorna in neprozorna.

Pojav refleksije je znan že od antičnih časov. Po zgodovinskih dokazih so bili zakoni refleksije že oblikovani pred našim časom. V prvem stoletju našega štetja je egiptovski filozof Heron iz Aleksandrije izrazil idejo o poti svetlobe, ki jo je francoski Pierre Fermat kasneje uporabil pri oblikovanju svojega načela.

Pojav loma je lom ravne črte, po kateri se premika svetloba, ko prečka površino, ki ločuje dva prozorna materiala. Upoštevajte, da se v primeru odboja žarek premika v enem preglednem materialu ali, kot pravijo, v enem mediju.

Prva formulacija zakonov loma je pripisana perzijskim matematikom 10. stoletja, določenemu Ibnu Sahlu, ki se je v svojih delih opiral na dela Claudiusa Ptolomeja (1. – 2. Stoletje). Na prelomu konca XVI. - začetku XVII. Stoletja je nizozemski znanstvenik Snell, ki je povzel rezultate mnogih eksperimentov s svetlobo, formuliral v matematični obliki 2. zakon loma, ki ima zdaj njegov priimek. Snell je dal svoje besedilo v smislu razdalj, ne kot kotov, kot je zdaj običajno. Moderni videz zakona loma je že dal Rene Descartes.

Zakoni širjenja svetlobe v prozornih medijih

Preden se lotimo Fermatovega načela, moramo oblikovati zakone loma in odsev svetlobe. Za vsakega od teh pojavov je običajno, da se ločita dva zakona. Spodaj so združeni v parih:

1. Trajektorija žarka, ko prečka vmesnik med dvema medijema, vedno leži v isti ravnini kot normala na ravnino te meje. Možna trajektorija žarkov se v splošnem ustvari iz treh delov: vpadnega žarka, loma in odbitega.
2. Če je kot med vpadnim svetlobnim žarkom in normo imenovan θ ₁ , je enak kot, toda za odsevani žarek napisan kot θ ₂ , lomljeni kot pa je θ ₃ , potem pa drugi zakon izgleda:

• za odsev: θ ₁ = θ ₂ ;
• za lom: n ₁ * sin (θ ₁ ) = n ₂ * sin (θ ₃ ).

V teh formulah sta n ₁ in n ₂ refrakcijski indeksi v prozornih medijih 1 in 2. Indeks lomnega količnika se po definiciji izračuna na naslednji način:

n = c / v.

Tu sta v in c hitrosti gibanja svetlobnega snopa v mediju in v vakuumu.

Oblikovanje načela kmetije

Pierre Fermat je bil eden od slavnih matematikov in odvetnikov Francije v prvi polovici 17. stoletja. Načelo, ki nosi njegovo ime, je oblikoval leta 1662, to je pol stoletja, ko je Snell odkril svoj zakon za lom.

Na kratko, Fermatov princip se lahko oblikuje takole: svetloba, ko se premika v absolutno vsakem transparentnem mediju, izbere takšno pot, ki jo prehaja v najkrajšem času.

Pravzaprav se ta formulacija ne razlikuje od tiste, ki jo je čarobnica Aleksandrija naredila pol tisoč let prej za pojav refleksije. Kljub temu ga je Francoz naredil skupen vsem pojavom, povezanim s svetlobo, in pokazal, kako lahko iz tega načela izpeljemo zakone loma in refleksije.

Sklep prvega zakona o razmisleku

Z uporabo Fermatovega načela bomo zakoni refleksije dobili matematično. V ta namen upoštevajte spodnjo sliko.

Tukaj je prikazano, da žarek izstopi iz točke S, ki leži na osi y. Nato se odbije od ravnine xz na neki neznani točki M. Po refleksiji se žarek premakne v točko P, ki leži na ravnini xy. Izbrani položaj točk S in P ne vpliva na splošnost nadaljnjega sklepanja, temveč zgolj poenostavlja matematične izračune.

Torej zapišemo koordinate vsake točke:

S (0; yS; 0);

M (x; 0; z);

P ( _xP ; yP; 0).

Položajne koordinate točk S in P so znane. Naloga je, da najde takšno točko M, ki bo ustrezala pravi SMP poti, ki jo prečka svetlobni žarek. Predpostavljamo tudi, da je obravnavani prostor homogen, to pomeni, da je hitrost svetlobe na kateri koli točki konstantna vrednost.

Po Fermatovem principu bo SMP svetlobna pot potekala v najkrajšem možnem času, če bo to najkrajše možno. Pišemo njeno dolžino:

SM = √ (x ² + y _S ² + z ² ); MP = √ ((xx _P ) ² + yP2 + z2);

SMP = √ (x ² + y _S ² + z ² ) + √ ((xx _P ) ² + y _P ² + z ² ).

Za izračun minimalne dolžine SMP je potrebno najti delne derivate glede na x in z (neznane koordinate točke M) in izenačiti dobljene rezultate na nič.

Najprej najdemo delni derivat glede na z. Imamo:

∂ (SMP) / =z = z / √ (x ² + y _S ² + z ² ) + z / √ ((xx _P ) ² + y _P ² + z ² ) = 0.

Ta enakost ima en sam koren pri z = 0. Z drugimi besedami, točka M leži na osi x, to je v isti ravnini kot točke P in S (ravnina xy). Iz tega sledi, da bo obnovljena norma na ravnino xz, v kateri je s pogojem problema točka M, ležala z SM in MP v isti ravnini (xy). To je prvi zakon za razmislek.

Zaključek drugega zakona o razmisleku

Nadaljujte z izračunom prejšnje postavke. Kot je bilo že povedano, je zdaj treba najti delni derivat glede na x. Imamo:

∂ (SMP) / =x = x / √ (x ² + y _S ² + z ² ) + (xx _P ) / √ ((xx _P ) ² + y _P ² + z ² ) = 0.

Zadnjo enakost zapišemo v obliki:

x / SM + (xx _P ) / MP = 0 =>

x / SM = (x _P -x) / MP.

Odnosi, dobljeni v vsakem delu enakosti, so sinusi kotov z vrhom v točkah S in P. Če zdaj vrnemo normo na ravnino xz skozi točko M, bodo označeni koti ustrezali kotom vpadnosti (med SM in normalno) in odsevi (med MP in normalno). .

Tako smo po Fermatovem principu dobili tudi 2. zakon refleksije svetlobe.

Sklep zakona loma Snella

Pokažimo, kako lahko zakon loma svetlobe izhaja iz Fermatovega načela. Če želite to narediti, upoštevajte sliko, podobno prejšnji.

Zaradi poenostavitve bomo primer obravnavali v ravnini xy. Zapišemo koordinate vira svetlobe S in sprejemnika P, ki sta v različnih okoljih:

S (xS; yS);

M (x; 0);

P (x _P ; y _P ).

Najdemo neznano koordinato točke M. Za to je natančno znana koordinata y = 0, saj se prav pri meji medijev (os x) hitrost svetlobe spremeni. Dolžine segmentov SM in MP so enake:

SM = √ (xx _S ) ² + y _S ² );

MP = √ (x _P- x) ² + y _P ² ).

Skupni čas, ki ga svetloba porabi za pot SMP, bo enak:

t = SM / v ₁ + MP / v2.

Tu sta v ₁ in v ₂ hitrosti žarka v ustreznem mediju. Da bi našli najmanjši čas gibanja, moramo vzeti celotni derivat glede na spremenljivko x in jo enačiti z ničlo. Dobimo:

dt / dx = (xx _S ) / (√ (xx _S ) ² + y _S ² ) * v ₁ ) - (x _P -x) / (√ (x _P -x) ² + y _P ² ) * v ₂ ) = 0 =>

(xx _S ) / (SM * v ₁ ) = (x _P -x) / (MP * v ₂ ).

S funkcijami sinusov vpadnega kota θ ₁ in lomom θ ₃ dobimo:

sin (θ ₁ ) / v ₁ = sin (θ ₃ ) / v ₂ .

Da bi pridobljeno enakost pripeljali do Snellovega zakona v prikladni obliki (preko refrakcijskih indeksov medija), je potrebno levo in desno stran pomnožiti s hitrostjo svetlobe c.

Uporaba Fermatovega principa omogoča enostavno sklepanje zakonitosti za glavne pojave gibanja svetlobnega snopa v prozornih materialih.

Gibanje svetlobe v nehomogenem mediju

Zgoraj omenjeni primeri predpostavljajo, da je material homogen in da svetlobni snop ohrani svojo hitrost, ko se premika. V primeru nehomogenih medijev velja naslednja enakost:

L = (n (x, y, z) * dl.

Ta integral je vzet vzdolž poti svetlobe. Diferencial dl je segment poti, za katerega medij ohrani svojo homogenost. Vrednost n (x, y, z) je lokalni lomni količnik.

Navedeni integral običajno imenujemo integralni optični poti. Načelo kmetije za optično pot vključuje iskanje ekstremov za L.

Splošna formulacija obravnavanega načela

Načelo minimalnega časa za premikanje svetlobe je zlasti v splošnejši obliki. Trenutno je Fermatovo generalizirano načelo formulirano na naslednji način: svetloba med premikanjem izbere pot, ki ustreza ekstremom optične poti.

Ekstremumi funkcije, glede na matematično definicijo, so najmanjša, največja in prevojna točka. Splošno načelo Fermata izpolnjuje vse te vrednosti, kar pomeni, da pot svetlobe ni nujno minimalna, lahko je največja in ustrezna točka preloma optične poti.

Domača analogija z obravnavanim načelom

Splošno načelo Fermata pa je poseben primer tako imenovanega načela najmanjšega dejanja. Tu ne bomo podali ustreznih definicij in njihovih matematičnih formulacij, vendar pa pokažimo, kje se lahko uporabi načelo, ki ga je predlagal Francoz.

Uporablja se pri reševanju preproste, na prvi pogled vsakodnevne naloge: na primer, oseba se utaplja v morju blizu plaže. Kako naj se reševalec premakne na obalo, da bi rešil utopljenega? Seveda bi moral najti pomoč v najkrajšem možnem času. Ker je hitrost gibanja reševalca na plaži večja kot na vodi, bi moral teči nekaj razdalje ob obali in šele nato skočiti v vodo in plavati. To pomeni, da je naloga omejena na uporabo načela Fermata, kjer vlogo svetlobnega žarka igra reševalec.

Upoštevajte, da rešitev tega problema ni enostavna, ker se v njenem procesu pojavljajo enačbe 4. stopnje.

Fermatov princip je torej orodje za pridobivanje osnovnih zakonitosti širjenja svetlobe. Vendar to ni bistveno. Lahko rečemo, da izhaja iz Huygensovega načela o virih sekundarnih sferičnih valov.