Rotacijsko gibanje telesa. Zakon rotacijskega gibanja

Članek opisuje pomemben del fizike - "Kinematika in dinamika rotacijskega gibanja".

Osnovni pojmi kinematike rotacijskega gibanja

Rotacijsko gibanje materialne točke okoli fiksne osi se imenuje takšno gibanje, katerega krivulja je krog, ki se nahaja v ravnini, ki je pravokotna na os, njeno središče pa leži na osi vrtenja.

Rotacijsko gibanje trdnega telesa je gibanje, v katerem se vse točke telesa premikajo vzdolž koncentričnih krogov (katerih središča ležijo na isti osi) v skladu s pravilom za rotacijsko gibanje materialne točke.

Naj se poljubno togo telo T vrti okoli O osi, ki je pravokotna na ravnino slike. Na tem telesu izberite točko M. Med vrtenjem ta točka opisuje krog s polmerom r okoli osi O.

Po določenem času se bo polmer vrtil glede na začetni položaj za kot Δφ.

Smer desnega vijaka (v smeri urinega kazalca) se upošteva kot pozitivna smer vrtenja. Sprememba rotacijskega kota s časom se imenuje enačba rotacijskega gibanja trdne snovi:

φ = φ (t).

Če se φ izmeri v radianih (1 rad je kot, ki ustreza loku z dolžino, ki je enaka njegovemu polmeru), je dolžina loka kroga ΔS, ki ga bo materialna točka M prešla v času Δt, enaka:

ΔS = Δφr.

Glavni elementi kinematike enakomernega rotacijskega gibanja

Merilo gibanja materialne točke v kratkem času dt je osnovni rotacijski vektor dφ .

Kotna hitrost Materialna točka ali telo je fizikalna količina, ki je določena z razmerjem med vektorjem osnovne rotacije in trajanjem te rotacije. Smer vektorja lahko določimo s pravilom desnega vijaka vzdolž osi O. V skalarni obliki:

ω = dφ / dt.

Če je ω = dφ / dt = const, se takšno gibanje imenuje enotno rotacijsko gibanje. Ko je kotna hitrost določena s formulo

ω = φ / t.

V skladu s predhodno formulo je dimenzija kotne hitrosti

[ω] = 1 rad / s.

Enotno rotacijsko gibanje telesa lahko opišemo z obdobjem vrtenja. Obdobje vrtenja T je fizikalna količina, ki določa čas, ki je potreben, da telo okoli osi vrtenja izvede eno popolno revolucijo ([T] = 1 s). Če v formuli za kotno hitrost vzamemo t = T, φ = 2 π (polni en obrat polmera r), potem

ω = 2π / T,

zato je obdobje rotacije opredeljeno na naslednji način:

T = 2π / ω.

Število vrtljajev, ki jih telo naredi za časovno enoto, se imenuje frekvenca vrtenja ν, ki je enaka:

ν = 1 / T.

Frekvenčne enote: [ν] = 1 / c = 1 s ^-1 = 1 Hz.

Če primerjamo formule za kotno hitrost in hitrost vrtenja, dobimo izraz, ki se nanaša na te količine:

ω = 2πν.

Glavni elementi kinematike neenakomernega rotacijskega gibanja

Neenakomerno rotacijsko gibanje trdne ali materialne točke okoli fiksne osi označuje njegovo kotno hitrost, ki se spreminja s časom.

Vektor ε , ki označuje hitrost spremembe kotne hitrosti, se imenuje vektor kotnega pospeška:

ε = dω / dt.

Če se telo vrti, pospeši, to je dω / dt> 0 , ima vektor smer vzdolž osi v isti smeri kot ω.

Če je rotacijsko gibanje počasno - dω / dt <0 , potem sta vektorja ε in ω nasproti usmerjena.

Opomba Ko pride do neenakomernega rotacijskega gibanja, se vektor ω lahko spreminja ne samo po velikosti, temveč tudi v smeri (pri rotaciji osi vrtenja).

Razmerje med količinami, ki so značilne za translacijsko in rotacijsko gibanje

Znano je, da je dolžina loka s kotom vrtenja polmera in njegova vrednost povezana z

ΔS = Δφ r.

Nato linearno hitrost materialne točke opravlja rotacijsko gibanje

υ = ΔS / Δt = Δφr / Δt = ωr.

Normalno pospeševanje materialne točke, ki deluje rotacijsko gibanje naprej definiramo:

a = υ ² / r = ω ² r ² / r.

Torej, v skalarni obliki

a = ω ² r.

Tangencialna pospešena materialna točka, ki opravlja rotacijsko gibanje

a = ε r.

Trenutek momenta materialne točke

Vektorski produkt polmera-vektorja trajektorije materialne točke mase m _i s svojim momentom imenujemo kotni moment te točke glede na os vrtenja. Smer vektorja lahko določimo s pravilom desnega vijaka.

Trenutek momenta materialne točke ( L _i ) je usmerjen pravokotno na ravnino, potegnjeno skozi r _i in υ _i, in s tem tvori prave tri vektorje (to pomeni, da se pri premikanju od konca vektorja r _i do ú _i desni vijak kaže smer vektorja L _i ).

V skalarni obliki

L = m _i υ _i r _i sin (υ _{i ,} r _i ).

Glede na to, da sta pri gibanju v krogu vektor polmera in vektor linearne hitrosti za i-to materialno točko medsebojno pravokotna,

sin (υ _{i ,} r _i ) = 1.

Torej bo moment kota materialne točke za rotacijsko gibanje v obliki

L = m _i υ _i r _{i .}

Trenutek sile, ki deluje na i-to materialno točko

Vektorski produkt polmera-vektorja, ki je zadržan na točki aplikacije sile, se s to silo imenuje trenutek sile, ki deluje na i-to materialno točko glede na os vrtenja.

V skalarni obliki

M _i = r _i F _i sin (r _i , F _i ).

Ob predpostavki, da je r _i sinα = l _i , Mi _i = l _i F _i .

Vrednost l _{i, ki je} enaka dolžini navpičnice, ki je spuščena od točke vrtenja v smer sile, se imenuje rama sile F _i .

Rotacijska dinamika

Enačba dinamike rotacijskega gibanja je zapisana kot:

M = dL / dt.

Besedilo zakona je naslednje: hitrost spremembe momenta gibanja telesa, ki se vrti okoli fiksne osi, je enaka nastalemu trenutku okoli te osi vseh zunanjih sil, uporabljenih na telesu.

Trenutek impulzov in vztrajnostni moment

Znano je, da je za i-to materialno točko kotni moment v skalarni obliki podan s formulo

L _i = m _i υ _i r _{i .}

Če namesto linearne hitrosti nadomestimo njegov izraz skozi kot:

υ _i = ωr _i ,

potem izraz za kotni moment dobi obliko

L _i = m _i r _i ² ω.

Količino I _i = m _i r _i ² imenujemo moment vztrajnosti okoli osi i-te materialne točke absolutno togega telesa, ki prehaja skozi njegovo središče mase. Nato kotni moment materialne točke pišemo:

L _i = I _i ω.

Trenutek impulza absolutno togega telesa je zapisan kot vsota impulznih momentov materialnih točk, ki sestavljajo to telo:

L = Iω.

Trenutek sile in vztrajnostni moment

Zakon rotacijskega gibanja se glasi: t

M = dL / dt.

Znano je, da predstavlja trenutek impulz telesa mogoče skozi trenutek vztrajnosti:

L = Iω.

Potem pa

M = Idω / dt.

Glede na to, da je kotni pospešek določen z izrazom

ε = dω / dt,

dobimo formulo za trenutek sile, ki jo predstavlja trenutek vztrajnosti:

M = Iε.

Opomba Moč sile se šteje za pozitivno, če je kotni pospešek, s katerim je povzročen, večji od nič, in obratno.

Steinerjev teorem. Pravilo dodajanja vztrajnostnih momentov

Če je os rotacije telesa skozi središče mase ne mimo, potem lahko glede na to os najdemo njegov vztrajnostni moment po Steinerjevem teoremu:
I = I ₀ + ma ² ,

kjer je I ₀ - začetni vztrajnostni moment telesa; m je telesna masa; a je razdalja med osmi.

Če je sistem, ki se vrti okoli fiksne osi, sestavljen iz n teles, je celoten vztrajnostni moment te vrste sistema enak vsoti trenutkov, ki ga tvorijo (zakon o dodajanju momentov vztrajnosti).