Višina piramide: definicija, formule, izračuni

Ena od volumetričnih številk, proučenih v okviru prostorske geometrije, je piramida. Pomembna značilnost te številke je njegova višina. V članku bomo podali definicijo višine piramide in podali formule, s katerimi je povezana z drugimi linearnimi značilnostmi.

Kaj je piramida

Pod piramido razumemo geometrijsko obliko prostora, ki jo dobimo s povezovanjem vseh vogalov poligona z eno točko v prostoru. Spodnja slika prikazuje razporeditev linij (robov) za štirikotne in peterokotne piramide.

Poligonalni obraz oblike se imenuje njegova osnova. Točka, kjer se vsi trikotni obrazi povezujejo, se imenuje vozlišče. Za določitev višine piramide so pomembni označeni elementi.

Telesna višina

Višina piramide se imenuje pravokotnica, ki se od vrha spušča na ravnino osnove. Pomembno je razumeti, da je iz vsake tocke, ki pripada osnovni liniji, možno pravokotno na ustrezno trikotno ploskev narisati pravokotno, vendar ne bo videti tako visoko. Višina piramide je edina pravokotnica, ki je ena od pomembnih linearnih značilnosti.

Vsak učenec ve, da ima vsaka ravna figura geometrijsko središče (v fiziki ustreza središču mase). Na primer, geometrično središče za poljuben trikotnik je določeno s presečiščem njegovih median, za paralelogram, presečišče diagonal. Če je višina piramide v geometrijskem središču, se številka imenuje ravna črta. Piramida je ravna in ima osnovni poligon z enakimi stranicami in koti, ki se imenuje pravilna.

Zgornja slika prikazuje razliko med napačno piramido in pravilno. Vidimo lahko, da višina nepravilne oblike leži onkraj njenega podnožja, medtem ko je v pravilni šesterokotni piramidi višina znotraj oblike, ki seka njeno osnovo v geometrijskem središču.

Pomembne lastnosti vseh običajnih piramid so naslednje:

• vse stranske ploskve so enakokračni trikotniki in so med seboj enake;
• dolžine stranskih reber in apothem so enake.

Formule za višino pravilne piramide

Za vsako piramido so pravilne štiri osnovne linearne značilnosti:

• stran osnove;
• bočni rob;
• apoteme bočne strani;
• višina slike.

Vsi so matematično povezani drug z drugim. Dolžino stranice podlage označimo z a, višino - h, apothem - h _b in robom - b. Formule, ki vežejo te količine, imajo posamezen videz za ustrezno piramido n-ogljika. Na primer, za običajno piramido lahko kvadratno višino določimo po formulah:

h = √ (a _b ² - a 2/4);

h = √ (b ² - a 2/2).

Te formule izhajajo iz Pitagorejevega izreka, če upoštevamo ustrezne pravokotne trikotnike znotraj piramide.

Če se upošteva številka s trikotno osnovo, veljajo naslednje formule za višino pravilne piramide:

h = √ (a _b ² - a 2/12);

h = √ (b ² - a 2/3).

Rešitev problema s šesterokotno piramido

Recimo, da smo dobili pravilno piramido s heksagonalno bazo. Znano je, da je višina podnožja piramide 13 cm in da je dolžina stranskega roba 10 cm, je potrebno izračunati prostornino in višino pravilne šesterokotne piramide.

Spodnja slika prikazuje, kako izgleda navaden šesterokotnik.

Razdalja med dvema vzporednima stranema se imenuje višina. Ni težko pokazati, da je ta višina h _a povezana z dolžino stranice slike z naslednjo formulo:

h _a = a * √3

Če nadomestimo vrednost h _a v izraz, ugotovimo, da je osnovna stran a enaka 7,51 cm.

Višino h številke lahko določimo, če upoštevamo pravokotni trikotnik znotraj piramide in ga sestavljata dve nogi (višina piramide in polovica diagonale šesterokotne osnove) in hipotenuza (stranski rob). Nato bo vrednost h enaka:

h = √ (b ² - a ² ) = √ (100 - 56,4) = 6,6 cm.

Volumen piramide je opredeljen kot tretji del produkta višine slike na območju njegove osnove. Površina pravilnega šesterokotnika je:

S ₆ = n / 4 * a ² * ctg (pi / n) = 6/4 * a ² * ctg (pi / 6) = 3 * /2 3/2 * a ² = 3 * /2 3/2 * 56, 4 ≈ 146,53 cm2.

Formula za izračun S6 je univerzalna za poljuben pravilen n-gon.

Za določitev volumna slike je treba nadomestiti parametre iz ustrezne formule:

V = 1/3 * h * S6 = 1/3 * 6,6 * 146,53 = 322,366 cm3.

Dobili smo vrednost višine piramide in izračunali njen volumen. Tako je problem rešen.