Problemi, rešeni z enačbo: primeri, razlaga. Algebra Težave

Prej ali slej bo vsak učenec v lekcijah algebre naletel na težave, ki jih rešuje enačba. Sprva je videz črk namesto običajnih številk in dejanj z njimi zmedel tudi najbolj nadarjene, toda če pogledate, vse ni tako težko, kot se zdi na prvi pogled.

Algoritem odločitve

Preden se lotimo konkretnih primerov, moramo razumeti algoritem za reševanje problemov z uporabo enačb. V vsaki enačbi obstaja neznano, najpogosteje označeno s črko X. Tudi v vsakem problemu je tisto, kar je treba najti, isto neznano. Ravno to je treba označiti kot X. Nato, po stanju problema, dodamo, odštejemo, množimo in delimo - izvajamo vse potrebne ukrepe.

Po odkritju neznanega je potrebno preveriti, ali je problem pravilno rešen. Treba je omeniti, da otroci, ki so že v osnovni šoli, začnejo reševati probleme s pomočjo enačb. Primeri za to so tiste naloge, ki jih je treba rešiti po segmentih, ki so najbolj popolni analogi črkovnih neznank.

Osnove - problem košare

Torej, poskusimo v praksi uporabiti rešitev problemov z enačbami, katere razlaga algoritma je bila podana nekoliko višje.

Določena mu je naloga: posajene so bile številne košare z jabolki. Najprej smo prodali 3 košare, potem pa še 8 košev. Rezultat je bilo 12 košar. Koliko košaric jabolk je bilo prvotno pridelano ?

Rešitev problema začnemo tako, da označimo neznano - to je začetno število košar - črko X. Zdaj začnemo narediti enačbo: X (začetna količina) - 3 (prodane košare) + 8 (tiste, ki so bile zbrane pozneje) = 12 (skupno število košaric) ), to je, X - 3 + 8 = 12. Reševanje preproste enačbe, dobimo, da je X = 7. Preverite, ali izvedete test, to pomeni, da nadomestite najdeno število v enačbo: 7 - 3 + 8 je res enako 12, to pomeni, da je problem pravilno rešen.

Pritrjevanje: koncertne dvorane

V dveh koncertnih dvoranah je 450 sedežev. Znano je, da so v eni dvorani štirikrat več sedežev kot v drugi. Morate vedeti, koliko mest v vsaki sobi .

Da bi rešili podobne probleme v algebri, moramo ponovno uporabiti enačbo. Vemo, da je vsota dveh številk, od katerih je ena 4-krat večja od druge, 450. Naj bo število sedežev v manjši dvorani, neznano, enako X, potem je število sedežev v večji dvorani 4 * X = 4X. Zato je 450 = X + 4X = 5X. In potem morate rešiti standardno enačbo 450 = 5X, kjer je X = 450/5 = 90, to je v manjši dvorani 90 sedežev, kar pomeni v večji - 90 * 4 = 360. Da bi preverili, ali je problem pravilno rešen, lahko preverite neenakost: 360 + 90 = 450, torej je odgovor pravilen.

Klasična: knjižne police

Toda težave, ki jih rešuje enačba, so lahko bolj zapletene. Na primer, obstajajo tri police s knjigami. Na prvi polici je še 8 knjig kot na drugem in 3-krat več na tretji kot drugi, število knjig na prvi in ​​tretji polici pa je enako. Koliko knjig je na vsaki polici?

Jasno je, da se morate odložiti z druge police, ki jo najdemo v obeh pogojih. Če označimo število knjig na njem za X, potem na prvi polici X + 8 knjig, na tretji pa - X * 3 knjig, medtem ko X + 8 = 3X. Rešimo enačbo, dobimo X = 4. Izvedemo test, ki nadomesti neznano v enakost: 4 + 8 je res enako 3 * 4, torej je problem pravilno rešen.

Vadite še: bobe

Kot lahko vidite, je reševanje problemov z enačbo veliko lažje, kot se zdi na prvi pogled. Sposobnost dela z enačbami bomo določili z drugo nalogo. Prvi bober je v enem dnevu razjedal nekaj dreves. Drugi bober je 6-krat večkrat prebodel. Tretji bober je gnil 2-krat več dreves kot prvi, toda 3-krat manj kot drugi. Koliko dreves je vsak bober ugriznil?

Naloga ni tako zapletena, kot se zdi na prvi pogled. Najprej najdemo neznano - v tem problemu je to število dreves, ki jih je bradal prvi bober. Zato je drugi bober uničil 6 * X dreves, tretji - 2 * X, to število pa je 3-krat manj kot 6 * X. Ustvari enačbo: 6X = 3 * 2X. Ko smo jo rešili, smo ugotovili, da je prvi bober brusil samo eno drevo, nato drugo - 6 in tretje - 2. Zamenjava številk v enačbi, razumemo, da je problem pravilno rešen.

Povezujemo enačbe in pogoje

Če vam povem: "Za vsako težavo izberite ustrezno enačbo," - ne skrbite - to je povsem resnično.

Podane so naslednje enačbe:

1. 6 + X = 2X;
2. 6 = 2X;
3. 2 + X = 6 .

Pogoji nalog so naslednji:

1. Fant je imel 6 jabolk, deklica pa je bila dvakrat manjša, koliko jabolk je imela deklica?
2. Na mizi so peresa in svinčniki, znano je, da je na mizi 6 svinčnikov, manj pa 2 svinčnika, koliko svinčnikov in koliko svinčnikov na mizi?
3. Vanya ima več kovancev kot Tanyo, Tanya pa je dvakrat manjša od Ani, koliko kovancev ima vsak otrok, če imata Vanya in Ani enako količino kovancev?

Za vsako težavo naredimo enačbe.

• V prvem primeru ne poznamo števila jabolk v dekletu, to je, da je enako X, vemo, da je X 2-krat manjši od 6, to je 6 = 2X, zato se enačba št. 2 ujema s tem pogojem.
• V drugem primeru X označuje število svinčnikov, nato število X + 2 ograd, vendar vemo, da je 6 svinčnikov, to je X + 2 = 6, kar pomeni, da se tu ujema tretja enačba.
• Kar zadeva zadnjo nalogo, pri številki 3, je število taninov, ki se pojavlja v dveh pogojih, neznano neznano, potem ima Vanya 6 + X kovancev, Ani pa 2X kovancev, to je 6 + X = 2X - očitno je, da prva enačba.

Če imate težave rešene s pomočjo enačbe, na katero morate najti ustrezno enakost, potem naredite enačbo za vsak problem, nato pa povežite to, kar imate, s temi enačbami.

Zapleten: sistem enačb - sladkarije

Naslednja faza uporabe črkovne enakosti v algebri je problem, ki ga rešuje sistem enačb. V njih sta dve neznani in ena od njih je izražena z drugimi na podlagi razpoložljivih podatkov. Znano je, da sta Pasha in Katie skupaj 20 bonbonov. Znano je tudi, da če ima Pasha še 2 bonboni, ima 15 bonbonov, koliko bonbonov?

V tem primeru ne poznamo niti števila Katyjevih bonbonov niti števila Sashinih bonbonov, zato imamo dve neznanci, X in Y. Hkrati pa vemo, da je Y + 2 = 15.

S sistemom dobimo dve enačbi:

1. X + Y = 20;
2. Y + 2 = 15.

In potem ravnamo po pravilih reševanja sistemov: izpeljamo Y iz druge enačbe, dobimo Y = 15 - 2, nato pa jo nadomestimo v prvo, to je, X + Y = X + (15 - 2) = 20. Po rešitvi enačbe dobimo X = 7, potem Y = 20 - 7 = 13. Preverite pravilnost raztopine, nadomestite Y z drugo enačbo: 13 + 2 je res enaka 15, kar pomeni, da ima Katya 7 bonbonov, za Pasha - 13.

Še težje: kvadratne enačbe in zemljišča

Obstajajo tudi težave v algebri, ki so rešene kvadratna enačba. Nič ni zapletenega, samo standardni sistem se med rešitvijo pretvori v kvadratno enačbo. Na primer, podana je zemljišča s površino 6 hektarjev (60.000 kvadratnih metrov), ograja pa je dolga 1000 metrov. Kakšna je dolžina in širina ploskve?

Sestavimo enačbo. Dolžina ograje je obod mesta, torej če je dolžina označena z X, širina pa je Y, potem 1000 = 2 * (X + Y). Področje je enako, to je X * Y = 60000. Iz prve enačbe dobimo X = 500 - Y. Če jo nadomestimo z drugo enačbo, dobimo (500 - Y) * Y = 60000, to je 500Y - Y ² = 60000. Po rešitvi enačbe, dobimo stranice, ki so enake 200 in 300 metrov - kvadratna enačba ima dve koreni, od katerih ena pogosto ni primerna za pogoj, je na primer negativna, medtem ko mora biti odgovor število naravnih zato je preverjanje obvezno.

Ponovite: drevesa na vrtu

Če določimo temo, rešimo še en problem. Na vrtu je več jabolk, 6 hrušk in več češenj. Znano je, da je skupno število dreves petkrat večje od števila jablan, medtem ko je češnje 2-krat več kot jablan. Koliko drevesnih vrst je na vrtu in koliko dreves je na vrtu?

Za neznano X, kot je verjetno že jasno, označujemo jablane, skozi katere lahko izrazimo druge količine. Znano je, da je Y = 2X in Y + X + 6 = 5X. Če nadomestimo Y iz prve enačbe, dobimo enakost 2X + X + 6 = 5X, od kod je X = 3, zato na vrtu Y = 3 * 2 = 6 češenj. Preverjamo in odgovarjamo na drugo vprašanje, dodamo dobljene vrednosti: 3 + 6 + 6 = 3 * 5, to pomeni, da je problem pravilno rešen.

Nadzor: vsota števil

Reševanje problemov z enačbo še zdaleč ni tako težko, kot se zdi na prvi pogled. Glavna stvar je, da se ne zmotite pri izbiri neznanega in, kar je še pomembneje, da ga pravilno izrazite, še posebej, če govorimo o sistemu enačb. V zaključku je podan zadnji problem, ki je veliko večji od tistih, predstavljenih zgoraj.

Vsota treh števil je 40. Znano je, da je X = 2Y + 3Z in Y = Z - 2/3 Kaj so X, Y in Z enaki?

Začnimo torej z odpravljanjem prvega neznanega. Namesto X nadomestimo ustrezni izraz v enakost, dobimo 2Y + 3Z + Z + Y = 3Y + 4Z = 40. Nadalje nadomeščamo tudi znano Y, da dobimo enakost 3Z - 2 + 4Z = 40, od koder Z = 6. Vrnemo se v Y, ugotovimo da je enak 5,2, X pa je enak 18. S pomočjo verifikacije smo prepričani v resnico izraza, zato je problem pravilno rešen.

Zaključek

Torej, kakšne probleme rešuje enačba? Ali so tako zastrašujoči, kot se zdi na prvi pogled? Nikjer! Z ustrezno skrbnostjo jih razumeti ni težko. In ko boste razumeli algoritem, boste v prihodnosti lahko kliknili na podobne uganke, tudi najbolj zapletene, kot semena. Glavna stvar je pozornost, ona je tista, ki bo pomagala pravilno določiti neznano in z reševanjem včasih nabor enačb najti odgovor.