Poincarev izrek s preprostimi besedami

Jules Henri Poincaré (1854-1912) je vodil Pariško akademijo znanosti in je bil izvoljen na znanstvene akademije v 30 državah sveta. Imel je obseg Leonarda: njegove interese so pokrivali fizika, mehanika, astronomija, filozofija. Matematiki celega sveta še vedno pravijo, da sta to zgodovino zares poznali samo dve osebi: nemški David Gilbert (1862-1943) in Poincare.

Leta 1904 je znanstvenik objavil dokument, ki je med drugim vseboval predpostavko, imenovano Poincarev izrek. Iskanje dokazov o resnici te izjave je trajalo približno stoletje.

Topologija ustanovitelja

Matematični genij Poincareja je impresiven v številnih delih znanosti, kjer je razvil teoretične temelje različnih procesov in pojavov. V času, ko so znanstveniki naredili preboje v novih svetovih vesolja in v globini atoma, je bilo nemogoče storiti brez ene same osnove splošne teorije vesolja. Prej neznane veje matematike so postale takšna osnova.

Poincaré je iskal nov pogled na nebesno mehaniko, ustvaril je kvalitativno teorijo diferencialnih enačb, teorijo avtomorfnih funkcij. Raziskovalec je postal osnova posebna teorija relativnosti Einstein. Poincarejev izrek o vrnitvi je med drugim dejal, da je mogoče razumeti lastnosti globalnih objektov ali pojavov s preučevanjem sestavnih delcev in elementov. To je dalo močan zagon znanstvenim raziskavam v fiziki, kemiji, astronomiji itd.

Geometrija je veja matematike, kjer je Poincaré postal priznani inovator in svetovni vodja. Teorija Lobačevskega, ki je odprla nove dimenzije in prostore, je še vedno potrebovala jasen in logičen model, Poincaré pa je ideje velikega ruskega znanstvenika dal uporabnemu značaju.

Razvoj neevklidske geometrije je bil pojav topologije - veje matematike, ki se je imenovala geometrija postavitve. Raziskuje prostorske odnose točk, linij, ravnin, teles itd. ne glede na njihove metrične lastnosti. Poincarejev izrek, ki je postal simbol najbolj nepremagljivih problemov v znanosti, je nastal prav v globini topologije.

Eden od sedmih ciljev tisočletja

Na samem začetku 21. stoletja je eden od oddelkov Ameriške univerze v Cambridgeu - matematični inštitut, ki temelji na podjetniku Landonu T. Clayu - objavil seznam problemov tisočletja (problemi tisočletja). Vseboval je sedem točk iz klasičnih znanstvenih problemov, za rešitev vsakega izmed njih je bila določena nagrada v višini milijona dolarjev:

• Enakost razredov P in NP (o ustreznosti algoritmov za reševanje problema in metodah za preverjanje njihove pravilnosti).
• Hodgeova hipoteza (o povezavi predmetov in njihovi podobnosti, zbrani za študij iz »opeke« z določenimi lastnostmi).
• Poincarejeva domneva (vsak preprosto povezan kompaktni tridimenzionalni kolektor brez meje je homeomorfen tridimenzionalnemu krogu).
• Riemannova hipoteza (o pravilnosti postavitve praštevil).
• Teorija Yang - Millsa (enačbe iz polja elementarnih delcev, ki opisujejo različne vrste interakcij).
• Obstoj in gladkost rešitev Navier - Stokesovih enačb (opišite turbulenco tokov zraka in tekočin).
• Birch - Swinnerton-Dyerove domneve (o enačbah, ki opisujejo eliptične krivulje).

Vsak problem je imel zelo dolgo zgodovino, iskanje njihove rešitve je pripeljalo do nastanka popolnoma novih znanstvenih področij, vendar edini pravilni odgovori na zastavljena vprašanja niso bili najdeni. Razumevanje ljudi je povedalo, da je denar fundacije Clay varen, vendar je bil le do leta 2002 - tisti, ki je dokazal Poincaréjev izrek. Res je, da denarja ni vzel.

Klasično besedilo

Hipoteza, za katero je ugotovljena potrditev, postane izrek, ki ima pravilen dokaz. Prav to se je zgodilo s predlogom Poincaréja o lastnostih tridimenzionalnih krogel. V bolj splošni obliki je ta postulat govoril o homeomorfizmu vsake sorte dimenzije n in krogi dimenzije n kot nujni pogoj za njihovo homopopirno ekvivalenco. Zdaj znani Poincaréjev izrek se nanaša na varianto, ko je n = 3. Prav v tridimenzionalnem prostoru so matematiki čakali na težave, v drugih primerih pa so bili dokazi hitrejši.

Da bi vsaj malo razumeli pomen Poincaréjevega teorema, ne moremo brez seznanitve z osnovnimi pojmi topologije.

Homeomorfizem

Ko govorimo o homeomorfizmu, ga topologija opredeljuje kot individualno korespondenco med točkami ene in druge figure, v nekem smislu nerazpoznavnost. Poincarevemu izreku je težko dati nepripravljenim. Za čajnike lahko navedete najbolj priljubljen primer homeomorfnih številk - krogla in kocka, krof in krog so tudi homeomorfni, ne pa krog in kocka. Številke so homeomorfne, če lahko eno sliko dobimo s poljubno deformacijo od druge, in ta transformacija je omejena z nekaterimi lastnostmi površine slike: ne more se raztrgati, prebiti, razrezati.

Če je kocka napihnjena, lahko zlahka postane žogica, če je krogla zdrobljena z bližnjimi gibi, lahko dobite kocko. Prisotnost luknje v krofu in luknja, ki jo oblikuje ročaj kroga, jih naredi homeomorfnih, ista luknja onemogoča obračanje kroga v kroglo ali kocko.

Povezljivost

Luknja je pomemben koncept, ki opredeljuje lastnosti predmeta, vendar kategorija ni popolnoma matematična. Uveden je bil koncept povezljivosti. Vsebuje veliko topoloških postulatov, vključno s Poincaréjevim teoremom. S preprostimi besedami lahko to rečete: če površino krogle ovijete z zanko z gumijastim trakom, se bo zdrsnila in zdrsnila. To se ne bo zgodilo, če je luknja, kot je krofni torus, skozi katero lahko prenesete ta trak. Tako se določi glavni znak podobnosti ali razlike med predmeti.

Sorta

Če je predmet ali prostor razdeljen na množico sestavnih delov - sosesk, ki obdajajo točko - se njihova splošnost imenuje mnogoterost. Prav ta pojem vsebuje Poincarijev izrek. Kompaktnost pomeni končno število elementov. Vsaka posamezna soseska se drži zakonov tradicionalne - evklidske geometrije, toda skupaj tvorijo nekaj bolj zapletenega.

Najbolj ustrezna analogija teh kategorij je površina Zemlje. Slika njene površine je zemljevid posameznih področij, zbranih v atlasu. Na globusu so te podobe v obliki krogle, ki se glede na prostor vesolja spremeni v točko.

Tridimenzionalno kroglo

Po definiciji je krog zbirka točk, ki so enako oddaljene od središča - fiksne točke. Enodimenzionalna krogla se nahaja v dvodimenzionalnem prostoru v obliki kroga na ravnini. Dvodimenzionalna sfera - površina krogle, njena "skorja" - niz točk v tridimenzionalnem prostoru in s tem tridimenzionalno kroglo - so bistvo Poincarejevega izreka - površina štiridimenzionalne krogle. Zelo težko si je predstavljati takšen predmet, vendar pravimo, da smo znotraj takšnega geometrijskega telesa.

Matematiki prav tako podajajo naslednji opis tridimenzionalnega kroga: predpostavimo, da se na naš običajni prostor, ki je neomejen in definiran s tremi koordinatami (X, Y, Z), doda točka (v neskončnosti) na tak način, da jo lahko vedno vnesemo s premikanjem v katerokoli smeri v ravni črti, t.j. vsaka linija v tem prostoru postane krog. Rečeno je, da obstajajo ljudje, ki si to lahko zamislijo in se mirno usmerijo v tak svet.

Za njih je običajna stvar - tridimenzionalni torus. Tak objekt se lahko doseže z dvojnim ponavljanjem dveh na eni točki, ki se nahajata na nasprotnih (na primer desni in levi, zgornji in spodnji) straneh kocke. Če si želimo predstavljati tridimenzionalni torus iz naših običajnih položajev, moramo izvesti absolutno nerealen eksperiment: potrebno je izbrati smeri, medsebojno pravokotne, - navzgor, levo in naprej - in se začeti premikati v katerikoli od njih v ravni črti. Po nekaj (končnih) časih iz nasprotne smeri se vrnemo na izhodiščno točko.

Takšno geometrijsko telo je temeljnega pomena, če želite razumeti, kaj je Poincaréjev izrek. Perelmanov dokaz se skrči na utemeljitev obstoja v tridimenzionalnem prostoru samo enega preprosto povezanega kompaktnega mnogotere - 3-krogle, druge, kot 3-torus, niso preprosto povezane.

Dolga pot do resnice

Več kot pol stoletja je minilo, preden se je pojavila rešitev Poincaréjevega teorema za večje od 3 dimenzij. Steven Smale (rojen leta 1930), John Robert Stelling (1935–2008), Eric Christopher Ziman (rojen 1925) je našel rešitev za n enakih 5, 6 in enak ali večji od 7. Samo leta 1982 je Michael Friedman (rojen 1951) ) je prejel najvišjo matematično nagrado - Polja Premium - za dokazovanje Poincarejevega izreka za bolj zapleten primer: pri n = 4. Leta 2006 je bila ta nagrada - medalja za polja - podeljena ruski matematiki iz Sankt Peterburga. Gregory Yakovlevich Perelman je dokazal Poincaréjev izrek za tridimenzionalno mnogotero in tridimenzionalno kroglo. Zavrnil je nagrado.

Navaden genij

Grigory Yakovlevich se je rodil 13. junija v Leningradu, v inteligentni družini. Njegov oče, inženir elektrotehnike, je odšel v Izrael na stalno prebivališče v zgodnjih devetdesetih, njegova mati je poučevala matematiko na poklicni šoli. Poleg ljubezni do dobre glasbe je v sina navdihnila strast za reševanje problemov in ugank. V 9. razredu je Gregory prešel v Šolo za fiziko in matematiko št. 239, vendar je od 5. razreda obiskoval Center matematike v palači pionirjev. Zmage na univerzi in na mednarodnih olimpijadah so Perelmanu omogočile vstop na Leningradsko univerzo brez izpitov.

Mnogi strokovnjaki, zlasti ruski, pravijo, da je bil Grigorij Jakovljević pripravljen na izjemno vzletanje visokega razreda leningradske šole geometerjev, ki jo je opravil na mehani ofnem oddelku drradľavne univerze v Leningradu in na podiplomski šoli na MatematiÄ .nem intitutu. V.A. Steklov. Becoming Kandidat znanosti začel je delati v njem. Težek devetdesetih je prisilil mladega znanstvenika, da je odšel na delo v Združene države. Tisti, ki so ga poznali, so nato opazili njegov asketizem v vsakdanjem življenju, predanost delu, odlično pripravljenost in visoko izobrazbo, kar je zagotovilo, da je Perelman dokazal Poincarev izrek. Težavo je prevzel po vrnitvi v Sankt Peterburg leta 1996, vendar je o tem začel razmišljati v Združenih državah.

V desno smer

Grigory Yakovlevich ugotavlja, da so ga vedno fascinirali kompleksni problemi, kot je na primer Poincaréjev izrek. Perelman je začel iskati dokaze v smeri iz pogovora z profesorjem Columbia University Richardom Hamiltonom (rojen leta 1943). Med svojim bivanjem v Združenih državah je izrecno potoval iz drugega mesta na predavanja tega izjemnega znanstvenika. Perelman ugotavlja odlično dobronamerno držo profesorja do mladega matematika iz Rusije. V svojem pogovoru je Hamilton omenil Riccijeve tokove - sistem diferencialnih enačb - kot način za reševanje geometrizacijskih izrekov. Nato je Perelman poskušal stopiti v stik z Hamiltonom in razpravljati o poteku dela v zvezi z nalogo, vendar ni dobil odgovora. Dolgo časa po vrnitvi v domovino je Grigorij Jakovljev preživel sam z najtežjo nalogo, kar je bil Poincarijev izrek. Dokaz Perelmana je rezultat ogromnega napora in samoodricanja.

Hamilton je prišel do zastoja, ko je videl, da se pri transformacijah krivulj pod delovanjem Riccijevih tokov oblikujejo singularne (v neskončnost) cone, ki niso bile predvidene s Poincaréjevim teoremom. S preprostimi besedami je Perelman uspel nevtralizirati nastajanje takih con in raznolikost se je varno spremenila v sfero.

Ricci teče

Enostavno povezan tridimenzionalni kolektor je obdarjen z geometrijo, uvedeni so metrični elementi z razdaljo in koti. To je lažje razumeti na enodimenzionalnih mnogoterostih. Gladka zaprta krivulja na evklidski ravnini je na vsaki točki obdana s tangentnim vektorjem dolžine enote. Pri prečenju krivulje se vektor vrti z določeno kotno hitrostjo, ki določa krivino. Kjer je črta bolj ukrivljena, je ukrivljenost večja. Ukrivljenost je pozitivna, če je vektor hitrosti obrnjen proti notranjosti ravnine, ki jo naša linija deli, in negativna, če je obrnjena navzven. Na točkah prevojov je ukrivljenost 0.

Zdaj je vsaki točki krivulje dodeljen vektor, ki je pravokoten na vektor. kotna hitrost in dolžino, ki je enaka vrednosti ukrivljenosti. Njegova smer je navznoter s pozitivno ukrivljenostjo in navzven z negativnim. Vsaka točka se premika v smeri in s hitrostjo, ki jo določa ustrezni vektor. Zaprta krivulja, potegnjena kjerkoli v ravnini, s takšno evolucijo se spremeni v krog. To velja za dimenzijo 3, kar je bilo potrebno dokazati.

Ni preroka ...

Šel je na svoj Everest, ki ga priznavajo matematiki Poincarev izrek. Dokaz Perelman je objavljen na internetu v obliki treh majhnih člankov. Takoj so vznemirjali, čeprav ruski matematik ni sprejel potrebne poti - objavo v strokovni reviji, ki so jo spremljali strokovni pregledi. Grigorij Yakovlevich je pojasnil bistvo svojega odkritja na ameriških univerzah za en mesec, vendar se je število ljudi, ki so popolnoma razumeli, da se njegov vlak misli, povečalo zelo počasi.

Šele štiri leta kasneje se je pojavil zaključek največjih oblasti: dokazi ruskega matematika so pravilni, prvi problem tisočletja je bil rešen.

Doba socialnih omrežij

Trpel je vznemirjenje in nevljudnost v družabnih omrežjih, tišino tistih, ki jih je spoštoval, in krike drugih, ki so ga učili življenja. Energetski Kitajci so svoj prispevek k reševanju problema najprej ocenili pri 25%, saj je za sebe in druge štel 80! Potem se zdi, da je prišlo do svetovnega priznanja, vendar ga ne morejo vsi prenašati. Želim verjeti: preživel in v svojem življenju - harmonijo želja in priložnosti.