Volumen paralelepipedov: osnovne formule in primeri nalog

Pogosto se učenci ogorčeno sprašujejo: "Kako lahko to uporabim v življenju?" O vsakem predmetu vsake teme. Vprašanje obsega paralelepipedov ni izjema. In tukaj lahko samo rečete: "To je koristno."

Kako, na primer, ugotoviti, ali bo paket ustrezal poštnemu predalu? Seveda je mogoče s poskusi in napakami izbrati ustrezno. In če take možnosti ni? Nato bodo rešeni izračuni. Če poznate zmogljivost škatle, lahko izračunate količino paketa (vsaj približno) in odgovorite na zastavljeno vprašanje.

Paralelepiped in njegove vrste

Če dobesedno prevedete njegovo ime iz starodavne grščine, se izkaže, da je to številka, sestavljena iz vzporednih ravnin. Obstajajo takšne enakovredne opredelitve paralelepipeda:

• prizma z osnovo v obliki paralelograma;
• polieder, katerega vsak obraz je paralelogram.

Njeni tipi izstopajo, odvisno od tega, katera številka leži na njenem dnu in kako so stranski robovi usmerjeni. Na splošno govorijo o naklonjenem paralelepipedu , katerega osnova in vsi obrazi so paralelogrami. Če v prejšnjem pogledu stranski obrazi postanejo pravokotniki, jih je treba imenovati ravne črte . Pravokotna baza ima tudi kot 90 °.

In slednji v geometriji poskušajo prikazati tako, da je opazno, da so vsi robovi vzporedni. Tukaj, mimogrede, opazimo glavno razliko med matematiki in umetniki. Nazadnje je pomembno, da se telo prenese v skladu z zakonom perspektive. V tem primeru je vzporednost reber popolnoma nevidna.

O vnesenem zapisu

V spodnjih formulah je zapis v tabeli veljaven.

Formule za poševno paralelepiped

Prvi in ​​drugi za prostor:

Tretji, da se izračuna prostornina paralelepipeda:

Ker je osnova paralelogram, potem morate za izračun območja uporabiti ustrezne izraze.

Formule za pravokotni paralelepiped

Podobno kot prva postavka - dve enačbi za območja:

In še en za obseg:

Prva naloga

Stanje Glede na pravokotni paralelepiped, katerega volumen želite najti. Znana diagonala - 18 cm - in dejstvo, da oblikuje kote 30 in 45 stopinj z ravnino stranske površine in stranskega roba.

Odločitev. Če želite odgovoriti na vprašanje problema, morate vedeti vse stranke v treh desni trikotniki. Podali bodo potrebne vrednosti robov, ki jih je treba prešteti.

Najprej morate ugotoviti, kje je kot na 30º. To naredite tako, da narišete diagonalo stranske ploskve iz istega vozlišča, iz katerega je bila izvlečena glavna diagonala vzporednika. Kot med njimi bo potreben.

Prvi trikotnik, ki bo dal eno od vrednosti strani osnove, bo naslednji. Vsebuje želeno stran in dva diagonalno držana. Pravokotna je. Zdaj morate uporabiti razmerje nasprotne strani (osnovna stran) in hipotenuze (diagonalno). Enak je s sinusom 30 °. To pomeni, da bo neznana stran osnove opredeljena kot diagonala, pomnožena s sinusom 30 ° ali ½. Naj bo označena s črko “a”.

Preprosto je šteti: a = 18 * ½ = 9 (cm).

Drugi bo trikotnik z znano diagonalo in robom, s katerim tvori 45 °. Prav tako je pravokoten in znova lahko uporabite povezavo noge s hipotenuzo. Z drugimi besedami, stranski rob diagonale. Je enaka kosinusu 45 °. To pomeni, da se "c" izračuna kot zmnožek diagonale s kosinusom 45 °.

c = 18 * 1 / =2 = 9 × 2 (cm).

V istem trikotniku je potrebno najti drugo nogo. To je potrebno, da se tretje neznano - "v" šteje. Naj bo označena s črko "x". To je enostavno izračunati s Pitagorovim izrekom:

x = √ (18 ² - (9√2) ² ) = 9√2 (cm).

Zdaj moramo razmisliti o drugem pravokotnem trikotniku. Vsebuje že znane strani "s", "x" in tiste, ki jih morate šteti, "c":

c = √ ((9√2) ² - 9 ² = 9 (cm).

Vse tri količine so znane. Lahko uporabite formulo za količino in jo preštejte:

V = 9 * 9 * 9'2 = 729-2 (cm3).

Odgovor: volumen paralelepipeda je 729 × 2 cm3.

Druga naloga

Stanje Potrebno je najti volumen paralelepipeda. Znane so stranice paralelograma, ki leži na dnu, 3 in 6 cm, kot tudi njegov akutni kot - 45º. Stranski rob ima naklon do podnožja 30 ° in je 4 cm.

Odločitev. Da bi odgovorili na vprašanje problema, morate vzeti formulo, ki je bila napisana za volumen nagnjenega paralelepipeda. Obe količini pa v njej nista znani.

Območje osnove, to je paralelogram, bo določeno s formulo, v kateri morate pomnožiti znane strani in sinus akutnega kota med njimi.

S _о = 3 * 6 sin 45º = 18 * ()2) / 2 = 9 (2 (cm2).

Druga neznana je višina. Lahko se potegne iz katere koli od štirih vozlišč nad bazo. Najdemo ga iz pravokotnega trikotnika, v katerem je višina noga, stranski rob pa je hipotenuza. Kot 30º leži nasproti neznane višine. Torej lahko uporabite odnos noge do hipotenuze.

n = 4 * sin 30º = 4 * 1/2 = 2.

Zdaj so vse vrednosti znane in lahko izračunate obseg:

V = 9 × 2 * 2 = 18 × 2 (cm3).

Odgovor: volumen je 18 × 2 cm3.

Tretja naloga

Stanje Poiščite količino paralelepipeda, če veste, da je ravno. Strani njegove podlage tvorita paralelogram in sta 2 in 3 cm, akutni kot med njimi pa je 60 °. Manjša diagonala paralelepipeda je enaka večji diagonali osnove.

Odločitev. Da bi ugotovili količino paralelepipeda, uporabimo formulo z osnovno površino in višino. Obe količini sta neznani, vendar ju ni težko izračunati. Prva je višina.

Ker manjša diagonala paralelepipeda sovpada velikosti z večjo osnovo, jih lahko označimo z eno črko d. Večji kot paralelograma je 120º, saj je 180º z ostrim. Naj bo druga diagonala osnove označena s črko »x«. Zdaj za dve osnovni diagonali lahko zapišemo kosinusni izreki :

d ² = a ² + v ² - 2av cos 120º,

x ² = a ² + v ² - 2av cos 60 °.

Iskanje vrednosti brez kvadratov nima smisla, saj se bodo potem ponovno dvignile na drugo moč. Po pridobitvi zamenjave podatkov:

d ² = 2 ² + 3 ² - 2 * 2 * 3 cos 120º = 4 + 9 + 12 * ½ = 19,

x ² = a ² + v ² - 2av cos 60º = 4 + 9 - 12 * ½ = 7.

Zdaj bo višina, ki je stranski rob paralelepipeda, noga v trikotniku. Hipotenuza bo znana diagonala telesa, drugi pa »x«. Lahko napišete Pitagorejsko teoremo:

n ² = d ² - x ² = 19 - 7 = 12.

Od tu: n = =12 = 2√3 (cm).

Zdaj je druga neznana količina površina baze. Lahko jo preštejemo s formulo, navedeno v drugem problemu.

S _о = 2 * 3 sin 60º = 6 * /3 / 2 = 3√3 (cm2).

Če združimo vse v formuli za količino, dobimo:

V = 3'3 * 2'3 = 18 (cm3).

Odgovor: V = 18 cm ³ .

Četrta naloga

Stanje Potrebno je poznati prostornino paralelepipeda, ki ustreza tem pogojem: osnova - kvadrat s stranico 5 cm; stranske ploskve so romb; ena od tock nad bazo je enako oddaljena od vseh tock na dnu.

Odločitev. Najprej se morate ukvarjati s tem pogojem. V prvem odstavku o trgu ni vprašanj. Drugi, glede rombov, pojasnjuje, da je paralelepiped nagnjen. Poleg tega so vsi njegovi robovi 5 cm, saj so stranice rombov enake. Iz tretjega pa postane jasno, da so tri diagonale, ki so potegnjene iz njega, enake. To sta dve, ki ležita na stranskih straneh, slednji pa je znotraj paralelepipeda. In te diagonale so enake robu, kar pomeni, da imajo tudi dolžino 5 cm.

Za določitev prostornine bo potrebna formula, napisana za nagnjeni paralelepiped. Spet ni znanih vrednosti. Vendar je območje baze enostavno izračunati, ker je kvadratno.

S _o = 5 ² = 25 (cm2).

Malo težje je primer z višino. To bo v treh številkah: paralelepiped, kvadratna piramida in enakokraki trikotnik. Zadnja okoliščina, ki jo je treba izkoristiti.

Ker je višina, je noga v pravem trikotniku. Hipotenuza v njem bo znan rob, drugi pa je enak polovici diagonale kvadrata (višina je tudi mediana). In diagonalo baze je enostavno najti:

d = √ (2 x 5 ² ) = 5√2 (cm).

Potrebno bo šteti višino kot razliko druge stopnje roba in kvadrata polovice diagonale in ga pozabiti izločiti kasneje. kvadratni koren :

n = √ (5 ² - (5/2 * ) ² ) ² ) = √ (25 - 25/2) = √ (25/2) = 2,5 × 2 (cm).

Še vedno je treba prešteti glasnost:

V = 25 x 2,5 x 2 = 62,5 x 2 (cm3).

Odgovor: 62,5 × 2 (cm3).