Številski sistemi: primeri. Prevajanje številskih sistemov

Če govorimo v najpreprostejšem jeziku, je sistem številk način predstavljanja številk. Pri računanju smo uporabili metodo izračuna 10. Drugi številski sistemi imajo na primer osnovo 16 (šestnajstiško), 8 (oktalno) in 2 (binarno).

Prazgodovinski časi

Tako kot so se pojavili prvi poskusi pisanja po razvoju govora, so se prva prizadevanja za grafično predstavitev številk pojavila, ko so se ljudje naučili šteti. Verjetno je najzgodnejši način za štetje nekakšen sistem za štetje fizičnih predmetov, kot so kamenčki ali palice. Sodeč po običajih sedanjih avtohtonih ljudstev in najstarejših sledov pisnih ali kiparskih najdb, so bile najstarejše številke preprosti kosi na deske, praske na kamnu, oznake na kosu keramike itd. Brez fiksnih enot, brez kovancev, brez trgovine poleg najbolj primitivne barter, brez davčnega sistema in nobenih drugih potreb, razen tistih, ki so podpirale življenje, ljudje niso potrebovali pisnih številk do začetka tako imenovanih zgodovinskih časov.

Prve metode štetja

Ko je bilo treba pogosto šteti številke, ki presegajo 10, je bilo treba oštevilčenje sistematizirati in poenostaviti; to se je običajno izvajalo na podlagi skupine ali skupine. Pravzaprav so bili najzgodnejši zapisi preprosti linearni znaki za majhne številke s posebno obliko za 10. Ti simboli so se pojavili v Egiptu že leta 3400 pr. N. Št. In v Mezopotamiji že 3000 let pr. ) In v Indiji (približno 300 let pred našim štetjem).

Seveda je posebno mesto zavzeto s številom 10 števila človeških prstov, kar potrjuje trenutno uporabo tega okvira, ne le v logični strukturi decimalnega sistema, ampak tudi v imenih številk v mnogih jezikih.

Različne metode štetja

Vendar ne smemo sklepati, da je 10 bodisi edina možna osnova bodisi edina, ki se dejansko uporablja. Obstaja veliko primerov številskih sistemov. Binarni, v katerem je štetje »eno, dva, dva in ena, dva in dva, dva in dva in ena« itd., Najdemo med najstarejšimi avstralskimi plemeni, v mnogih jezikih narodov Torresovega preliva in sosednje obale Nove Gvineje, nekaj afriških pigmijev in različnih južnoameriških plemen. Avtohtoni prebivalci Tierra del Fuego in južnoameriški kontinent uporabljata številčne sisteme s tremi in štirimi bazami. Osnovni sistem številka pet je zelo star, vendar se v svoji čisti obliki zdi, da se trenutno uporablja le v nekaterih plemenih v Južni Ameriki. V drugih krajih je kombiniran z decimalnim ali dvanajstim decimalnim sistemom, kjer je baza 20. Podobno je sistem, ki temelji na 6, redko v severozahodni Afriki in je povezan z dvanajstnim osnovnim sistemom.

V zgodovinskem razvoju je decimalni sistem končno zasenčil vse druge. Kljub temu pa je še vedno veliko drugih sistemov, ki se uporabljajo predvsem v komercialni in stanovanjski industriji. Tako se baza 12 pojavlja kot število centimetrov v metrih, mesecih v letu, unč v funt, in dvakrat za 12 ur na dan, kot tudi ducat, uporabljenih v izračunu. Osnova 60 se nahaja pri merjenju časa in kotov.

Digitalni sistemi

Prvi primitivni števki sta bili |, ||, ||| itd., na primer v Egiptu in antični Grčiji, ali -, =, itd., kot v vzhodni Aziji. Ta metoda računanja je ustrezala preprostim potrebam ljudi. Ker je življenje postajalo bolj zapleteno, je postala potreba po številu skupin številk očitna, in to je bil le majhen korak od preprostega sistema z imeni za samo eno in deset do pojavljanja drugih posebnih številk, na podlagi katerih lahko določite, koliko številnih sistemov obstaja in obstaja. Včasih je bil ta proces nesistematičen. Na primer, Yukaghir v Sibiriji je menil, da je "ena, dva, tri, tri in ena, pet, dva tri, dva tri in ena, dva, štiri, deset z eno zgrešeno, deset". Običajno pa je rednejši sistem pripeljal do dejstva, da je večina teh sistemov mogoče razvrstiti, vsaj na splošno, v skladu z logičnimi načeli, na katerih temeljijo.

Enostavni sistemi združevanja

Številski sistem lahko glede na svojo vrednost obravnavamo kot metodo združevanja števil. V svoji čisti obliki je preprost sistem združevanja dodelitev posebnih imen za majhne številke, baza b in njene moči b2, b3 itd., Do stopnje bk, ki je zadostna, da predstavljajo vse številke, ki so res potrebne za uporabo. Vmesne številke se nato oblikujejo z dodajanjem, vsak znak se ponovi zahtevano število krat, tako kot je 23 napisano - XXIII - z rimskimi številkami.

Najzgodnejši primer takšnega sistema številk je vzorec, ki ga najdemo v egipčanskih hieroglifih. Stari Egipčani so ga uporabljali za pisanje na kamnu.

Pozicijski številski sistemi

Med njimi so tisti, pri katerih vrednost (številka) pri pisanju številke določa njegovo vrednost. Sistem decimalnih števil je primer pozicijskega sistema, v katerem so po sprejemu osnove b posebna imena dodeljena številkam 1, 2, ..., b-1 in vsa večja števila so zapisana kot zaporedja teh številk. To je edini med številnimi sistemi, ki jih lahko uporabimo za opis velikih števil. To je zato, ker vsaka druga vrsta daje posebna imena različnim številkam, večjim od b, in vse številke zahtevajo neskončno število imen. Uspeh pozicijskega števnega sistema je odvisen od dejstva, da se lahko za poljubno bazo b vsako število N enoznačno zapiše v obliki:

N = anbn + an - 1bn - 1 + ⋯ + a1b + a0,

kjer so a, an - 1, ..., a0 številke; to pomeni številke iz skupine 0, 1, ..., b - 1. Nato lahko N na bazi b predstavimo z zaporedjem anan - 1 ... a1a0 znakov. To načelo je bilo uporabljeno v multiplikativnih sistemih združevanja. Pozicijski sistem izhaja iz množenja preprosto tako, da izključi imena stopinj b, b2 itd. In se določi glede na položaj številk za predstavitev teh informacij. Vendar pa je treba uporabiti nek znak za nič, da se navede manjkajoči osnovni organ; sicer lahko 792 pomeni, na primer, 7M9X2 (to je 7,092) ali 7C9X2 (792).

Razvoj v različnih državah

Primer te vrste številčnega sistema je metoda, ki so jo razvili babilonci (približno 3000–2000 pred našim štetjem). Tu je bila uporabljena številka 60. Takšen sistem se imenuje heksadecimalni. S tako veliko bazo bi bilo neprimerno imeti nepovezana imena za številke 0, 1, ..., 59, zato je bil za te številke uporabljen preprost sistem združevanja na dno 10.

Poleg tega, da je bil ta sistem zaradi velike osnove zapleten, je babilonski sistem do nedavnega trpel zaradi odsotnosti ničelne oznake.

Med zgodnjimi odpravami na Yucatan so odkrili še en primer Maya. Uporabljena je bila predvsem v koledarju, ne pa za komercialne ali druge izračune. To je bil dobro razvit pozicijski sistem. Njena osnova je bila številka 20. Številke 0, 1, ..., 19, kot v Babilonu, so oblikovane s preprostim sistemom združevanja, v tem primeru z bazo 5.

Niti majevski niti babilonski sistemi niso idealni za aritmetične izračune, ker številke, manjše od 20 ali 60, niso bile predstavljene z enojnimi znaki.

Evolucija

Nadaljnji razvoj te ideje je povezan z Indijci, ki so bili tudi prvi, ki so v moderni podobi uporabili ničlo. Pri sistemih za določanje položaja je potreben določen znak za označevanje mesta, kjer baza dejansko ni najdena. Hindujci so to označili s piko ali majhnim krogom, ki je dobil ime sunya, sanskrtska beseda "prazno". Potem, okoli 800 AD ta oznaka je bila prenesena na Arabce, pri prevodu pa je bila vrednost ostala nespremenjena. Po tem so ga seznanili z latinskim jezikom (okoli 1200), izgovorjava pa se je ohranila, vrednost pa je bila prezrta. Naknadne spremembe so privedle do sodobne označbe.

Hindu-arabski sistem

Obstaja več različnih mnenj o izvoru modernih zahodnih številk: ponavadi govorijo o njihovem arabskem poreklu, vendar je bolje, da se razmisli o hindu-arabščini. V tem primeru se trdi, da je njihov izvor povezan z Arabci, Perzijci, Egipčani in Hindujci. Ni izključeno, da je komunikacija med trgovci služila kot priložnost za prenos teh simbolov iz države v državo, tako da lahko sodobne zahodne številke pridejo iz različnih virov. Vendar pa je, kolikor je znano, država, ki je prvič uporabila največje število teh številčnih oblik, Indija. 1, 4 in 6 najdemo v napisih Ashoke (III. Stoletje pr. N. Št.); 2, 4, 6, 7 in 9 se pojavijo na napisih Nana Ghat po približno stoletju; in 2, 3, 4, 5, 6, 7 in 9 v jamah Nasika 1. ali 2. stoletja. Vse te številke so v veliki meri podobne današnjim.

Prednosti, ki jih ima popoln sistem za pozicioniranje, so tako številne in tako očitne, da so bili hindujsko-arabski številki in baza 10 sprejeti skoraj povsod. Lahko rečemo, da je to najbližji univerzalni človeški jezik.

Binarni sistem

Vendar pa obstaja področje, kjer običajni decimalni sistem ni najboljši: računalnik. Tu ima binarni pozicijski sistem več prednosti pred decimalno. V tem sistemu baza 2 določa, koliko števil je v binarnem številčnem sistemu: tukaj sta samo dve števki - 0 in 1; številka dve je tukaj predstavljena kot 10, saj ima v decimalnem sistemu enako vlogo kot deset.

Binarno število je običajno veliko daljše od ustreznega decimalnega števila; na primer, 256 058 ima binarno predstavitev 111 11010 00001 11010. Binarna številka, kot enota v številskem sistemu, nosi manj informacij kot decimalno število. Razlog za večjo dolžino binarnega števila je ta, da binarna številka loči samo dve možnosti: 0 ali 1, medtem ko decimalna številka razlikuje med 10 možnostmi.

Oktalni in šestnajstiški številski sistemi

Njihova uporaba je povezana tudi z računalniki in programiranjem.

Starejši računalniški sistem številčenja je oktalno število, kjer je osnova številka 8. Številke, uporabljene v tem sistemu, so: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 in 7. Vrednost »osem« se zabeleži kot »1 osem in 0 enot« ali 10. Vsaka vrednost položaja je osemkrat drugačna od naslednje.

S tehničnega vidika obstaja toliko različnih računalniških jezikovnih protokolov za oktalni sistem.

Drugi sistem se imenuje šestnajstiški, saj ima ta sistem osnovo 16. Veljavne šifre vključujejo običajne decimalne znake 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 in 9 ter šest abecednih znakov A, B, C , D, E in F, za skupno šestnajst. Vrednost vsakega položaja se razlikuje od prejšnje šestnajstkrat.

Oktalni in heksadecimalni sistemi bi bili brez pomena, če ne bi bilo mogoče enostavno pretvoriti v binarni sistem in iz njega. Njihov glavni cilj je, da služijo kot "skrajšana" metoda označevanja števil, ki je elektronsko predstavljena v binarni obliki. Ker so osnove osmiškega (8) in šestnajstiškega (16) sistema parne in mnogokratne binarne osnove (2), lahko binarne bitove združimo in številke v številskih sistemih lahko neposredno pretvorimo v oktalne ali šestnajstiške številke. Pri pretvorbi v oktalni sistem so binarni biti združeni v tri (zaradi 23 = 8) in v šestnajstiškem - binarni biti so združeni v štiri (zaradi 24 = 16).

Podobno se pretvorba števil v oktalno ali šestnajstiško število v dvojiške številke izvede z uporabo vsake oktalne ali šestnajstiške številke in pretvorba v enakovredno binarno (3 ali 4-bitno) skupino, nato pa se združijo vse skupine bitov.