Trenutek vztrajnosti: formula. Trenutek vztrajnosti telesa

Za spremembo hitrosti gibanja telesa v prostoru je potrebno nekaj truda. To velja za vse vrste mehanskih gibanj in je povezano s prisotnostjo inercialnih lastnosti predmetov, ki imajo maso. Članek obravnava rotacijo teles in daje koncept njihove vztrajnosti.

Kaj je rotacija v smislu fizike?

Odgovor na to vprašanje lahko da vsakomur, ker ta fizični proces ni nič drugačen od njegovega koncepta v vsakdanjem življenju. Proces vrtenja je gibanje objekta s končno maso po krožni poti okoli neke namišljene osi. Naslednji primeri rotacije so lahko navedeni:

• Gibanje koles avtomobila ali kolesa.
• Vrtenje lopatic helikopterja ali ventilatorja.
• Gibanje našega planeta okoli osi in okoli sonca.

Kakšne fizikalne količine označujejo proces rotacije?

Krožno gibanje je opisano z množico količin v fiziki, od katerih so glavne naslednje:

• r je razdalja do osi materialne točke mase m.
• ω in α sta kotna hitrost oziroma pospešek. Prva vrednost kaže, koliko radianov (stopinj) telo vrti okoli osi v eni sekundi, druga vrednost pa opisuje hitrost spremembe v času prvega.
• L je kotni moment, ki je podoben podobni lastnosti v linearnem gibanju.
• I - trenutek vztrajnosti telesa. Ta vrednost je podrobno obravnavana spodaj.
• M je trenutek sile. Opiše stopnjo spremembe vrednosti L, če se uporabi zunanja sila.

Te količine so med seboj povezane z naslednjimi formulami rotacijskega gibanja:

1. L = I * ω

2. M = I * α

Prva formula opisuje krožno gibanje telesa v odsotnosti delovanja zunanjih momentov sil. V zgornji obliki odseva zakon ohranjenosti momentnega momenta L. Drugi izraz opisuje primer pospeševanja ali upočasnjevanja rotacije telesa kot posledica delovanja momenta sile M. Oba izraza se pogosto uporabljata pri reševanju problemov dinamike vzdolž krožne poti.

Kot je razvidno iz teh formul, se vztrajnostni moment okoli osi (I) v njih uporabi kot določen koeficient. Poglejmo to vrednost podrobneje.

Od kod prihaja vrednost I?

V tem delu bomo obravnavali najpreprostejši primer vrtenja: krožno gibanje materialne točke mase m, katere oddaljenost od osi vrtenja je r. To stanje je prikazano na sliki.

V skladu z definicijo je kotni moment L zapisan kot produkt ramenskega r z linearnimi impulznimi p točkami:

L = r * p = r * m * v, ker je p = m * v

Glede na to, da sta linearna in kotna hitrost med seboj povezani z razdaljo r, se lahko ta enakost ponovno napiše kot:

v = ω * r => L = m * r ² * ω

Produkt mase materialne točke s kvadratom razdalje do osi vrtenja se imenuje vztrajnostni moment. Zgornja formula bo v tem primeru napisana na naslednji način:

I = m * r ² => L = I * ω

To pomeni, da smo prejeli izraz, ki je bil podan v prejšnjem odstavku, in uvedli vrednost I.

Splošna formula za velikost telesa I

Izraz za vztrajnostni moment z maso m materialne točke je osnovni, to pomeni, da omogoča izračun te vrednosti za vsako telo, ki ima poljubno obliko in neenakomerno porazdelitev mase v njem. V ta namen je treba obravnavani predmet razdeliti v majhne elemente mase m _i (celo število i je število elementa), nato pa jih pomnožimo s kvadratom razdalje r _i ² do osi, okoli katere se upošteva rotacija, in dodamo rezultate. Opisana metoda iskanja vrednosti I je lahko matematično napisana na naslednji način:

I = ( _i (m _i * r _i ² )

Če je telo razcepljeno tako, da je i-> sum, se dano vsoto nadomesti z integralom nad maso telesa m:

I = ( _m (r _i ² * dm)

Ta integral je enakovreden drugemu integralu nad prostornino telesa V, ker je dV = ρ * dm:

I = ρ * ( _V (r _i ² * dV)

Vse tri formule so uporabljene za izračun trenutka vztrajnosti telesa. V tem primeru je v primeru diskretne porazdelitve mase v sistemu bolje uporabiti 1. izraz. Z neprekinjeno porazdelitvijo mase uporabimo tretji izraz.

Lastnosti I in njen fizični pomen

Opisani postopek za pridobitev splošnega izraza za I nam omogoča, da naredimo nekaj sklepov o lastnostih te fizikalne količine:

• je aditiv, to pomeni, da se lahko celotni vztrajnostni sistem sistema prikaže kot vsota trenutkov njenih posameznih delov;
• odvisna je od porazdelitve mase znotraj sistema, kot tudi od razdalje do vrtilne osi, večja kot je zadnja, večjega I;
• ni odvisen od sil M, ki delujejo na sistem momentov, in od hitrosti vrtenja ω.

Fizični pomen I je, kako močno sistem preprečuje kakršno koli spremembo vrtilne hitrosti, tj. Vztrajnostni moment označuje stopnjo "gladkosti" nastalih pospeškov. Na primer, kolesno kolo lahko enostavno zavrtimo do visokih kotnih hitrosti in ga tudi enostavno ustavimo, toda za spremembo vrtenja vztrajnika na ročični gredi avtomobila bo potrebno precej napora in nekaj časa. V prvem primeru gre za sistem z majhnim momentom vztrajnosti, v drugem - z velikim.

Vrednost I nekaterih teles za os vrtenja, ki poteka skozi središče mase

Če uporabimo integracijo preko volumna za katero koli telo s poljubno porazdelitvijo mase, lahko dobimo količino I. Za homogene objekte, ki imajo idealno geometrično obliko, je ta problem že rešen. Spodaj so navedene formule za vztrajnostni moment palice, diska in krogle mase m, v kateri je njihova sestavina enakomerno porazdeljena:

• Jedro. Os vrtenja poteka pravokotno na to. I = m * L 2/12, kjer je L dolžina droga.
• Disk poljubne debeline. Vztrajnostni moment z osjo vrtenja, ki poteka pravokotno na njegovo ravnino skozi središče mase, se izračuna na naslednji način: I = m * R 2/2, kjer je R polmer diska.
• Ball. Glede na visoko simetrijo te številke je za vsak položaj osi, ki prehaja skozi njeno središče, I = 2/5 * m * R2, pri čemer je R polmer krogle.

V nadaljevanju podajamo dva primera reševanja problemov za uporabo splošne formule za izračun I in za uporabo lastnosti aditivnosti te količine.

Naloga izračuna vrednosti I za sistem z diskretno masno distribucijo

Predstavljajte si palico dolžine 0,5 metra, ki je izdelana iz trdega in lahkega materiala. Ta palica je pritrjena na osi tako, da poteka pravokotno nanj točno na sredini. Na to palico so obešene tri uteži, kot sledi: na eni strani osi sta dve uteži, ki tehtata 2 kg in 3 kg, ki se nahajata na razdalji 10 cm oziroma 20 cm od njegovega konca; po drugi strani pa je ena sama teža 1,5 kg obešena na koncu palice. Za ta sistem je treba izračunati vztrajnostni moment I in določiti, pri kateri hitrosti ω se bo palica vrtela, če se na eno izmed njenih koncev v 10 sekundah uporabi sila 50 N.

Ker je mogoče palico zanemariti, je treba izračunati trenutek I za vsako obremenitev in dodati dobljene rezultate, da dobimo celoten trenutek sistema. Glede na stanje naloge je od osi teža 2 kg na razdalji 0,15 m (0,25-0,1), obremenitev 3 kg pa 0,05 m (0,25-0,20), obremenitev 1,5 kg pa 0,25 m. Z uporabo formule za trenutek materialne točke I dobimo:

I = I ₁ + I ₂ + I ₃ = m ₁ * r ₁ ² + m ₂ * r ₂ ² + m ₃ * r ₃ ² = 2 * (0,15) ² + 3 * (0,05) ² + 1,5 * (0,25) ² = 0,14 625 kg * m ² .

Upoštevajte, da so bile pri izvajanju izračunov vse merske enote prenesene v sistem SI.

Da bi določili kotno hitrost vrtenja palice po delovanju sile, uporabimo formulo s trenutkom sile, ki je bila podana v drugem odstavku članka:

M = I * α

Ker je α = Δω / Δt in M ​​= r * F, kjer je r dolžina rame, dobimo:

r * F = I * Δω / Δt => Δω = r * F * Δt / I

Glede na to, da je r = 0,25 m, nadomestimo številke v formuli, dobimo:

Δω = r * F * Δt / I = 0,25 * 50 * 10 / 0,14625 = 854,7 rad / s

Dobljena vrednost je precej velika. Da bi dobili običajno hitrost, morate deliti Δω za 2 * pi radianov:

f = Δω / (2 x pi) = 854,7 / (2 x 3,1416) = 136 s ^-1

Tako se bo sila F, ki je na koncu palice s tehtami v 10 sekundah, vrtela v frekvenco 136 vrtljajev na sekundo.

Izračun vrednosti I za palico, ko os prehaja skozi njen konec

Naj bo homogena palica z maso m in dolžino L. Potrebno je določiti moment vztrajnosti, če je os vrtenja na koncu palice pravokotno na to.

Uporabljamo splošni izraz za I:

I = ρ * ( _V (r _i ² * dV)

Z razčlenitvijo obravnavanega predmeta v elementarnih volumnih ugotavljamo, da je dV lahko zapisano kot dr * S, kjer je S presečna površina palice, dr pa debelino cepilnega elementa. Če nadomestimo ta izraz v formulo, imamo:

I = ρ * S * ∫ _L (r ² * dr)

Ta integral je precej preprost za izračun, dobimo:

I = ρ * S * (r 3/3) ^L ₀ ^L => I = ρ * S * L 3/3

Ker je volumen droga S * L in masa ρ * S * L, dobimo končno formulo:

Zanimivo je omeniti, da je vztrajnostni moment za isto palico, ko os poteka skozi njeno središče mase, 4-krat manjši od dobljene vrednosti (m * L 2/3 / (m * L 2/12) = 4).