Kako najti območje enakostraničnega trikotnika: osnovne formule

Območje enakostraničnega trikotnika lahko najdete s poljubno formulo za poljubno sliko te vrste ali uporabite tiste, ki že upoštevajo posebnost te številke, in matematični izrazi so bili znatno poenostavljeni.

Prvi primer zahteva zamenjavo vseh strani z enako vrednostjo in ob upoštevanju, da so vsi koti trikotnika 60 °. Potem bo potrebno izvesti preproste transformacije, ki bodo privedle do nekoliko nižjih formul, podanih v končni obliki.

Formula 1: znana stran

V tej in naslednjih formulah so bile sprejete standardne oznake za vrednosti trikotnika. Več podrobnosti najdete v predlagani tabeli.

Izračun površine trikotnika se v tem primeru izvede po formuli:

S = /3 / 4 * a ² .

Zlahka ga dobimo iz tistega, kar je znano za poljubno sliko s tremi stranmi. Samo v formuli morate upoštevati dejstvo, da so vse strani trikotnika enake.

Natančneje, potrebna je formula Gerone: S = √ (p (pa) (pb) (pc)). Vrednost pol-oboda za enakostranični trikotnik je 3a / 2. Tako se izraz ((3a / 2) - a) dobi v vsakem oklepaju pod korenom. Dala bo po konverziji a / 2.

Ker obstajajo trije oklepaji, ima ta izraz tretjo stopnjo. Torej se bo spremenila v 3/8.

Še vedno ga je treba pomnožiti s pol-perimetrom, ki je definiran kot vsota strani, deljene z 2. Izraz: 3a 4/16 je dobljen. Po ekstrakciji kvadratni koren samo izraz, ki je podan v prvi formuli za območje enakostraničnega trikotnika, bo ostal.

Zato ni treba zapomniti veliko formul. Lahko se preprosto spomnite enega - Gerona. Iz nje, s preprostimi matematičnimi transformacijami, dobimo vse ostale, na primer, za enakostranični trikotnik.

Formula 2: polmer vpisanega kroga

Ta izraz je zelo podoben prejšnjemu vnosu. Toda še vedno obstajajo pomembne razlike: uporabljena je druga črka, iracionalnost je prešla v imenovalec, pojavil se je faktor 3 in število 4 je izginilo.

S = 3√3 * r2.

To formulo lahko enostavno dobimo tudi iz tistega, ki je podan za poljuben trikotnik. V njem se polmer pomnoži s seštevkom strani in se deli s 4. Ker imajo strani enako vrednost, se vsota nadomesti s 3a. Zdaj morate odstraniti "a", da ostane samo vrednost polmera. To zahteva izraz, pri katerem je stran deljen z izdelkom 2 in sinusom nasprotne strani kota. Ker je kot 60 °, bo sinusna vrednost 3/2. Potem bo stran izražena skozi polmer, kot sledi: a = R3R. Po preprosti transformaciji lahko pridemo do izraza za območje, ki je podano na začetku.

Formula 3: opisana je krožnica in njen polmer

Ona je zelo podobna prvi. Samo v številčniku se prikaže številka 3, črka pa se spremeni v R.

S = 3'3 / 4 * R2.

Ker je polmer dvakrat večji od tistega, upoštevanega v prejšnjem odstavku, je jasno, kako se izkaže. Preprosto nadomešča r z r / 2. In potrebne transformacije se izvajajo.

Zato formule ni mogoče zapomniti. Ne pozabite na razmerje med polovi, ki so zapisani in opisani okoli enakostraničnega trikotnika krogov.

Formula 4: znana višina

V tem primeru je območje enakostraničnega trikotnika:

S = n ² /. 3.

Da bi razumeli, kako dobimo to formulo, bomo morali ponovno uporabiti skupno za vse trikotnike. Izgleda, da je rezultat strani in višine za ½. Da bi ugotovili območje enakostraničnega trikotnika, je treba spomniti ali izpeljati matematični izraz za višino.

Lahko se naučite, če izkoristite dejstvo, da se višina oblikuje pravokotni trikotnik. Zato je višino mogoče najti kot nogo - iz Pitagorovega izreka. Druga noga bo enaka polovici strani, saj je višina tudi mediana (to je dobro znano lastnost enakostraničnega trikotnika). Nato se višina določi kot kvadratni koren razlike dveh kvadratov. Prvi "a" in drugi "a / 2". Po erekciji v drugi stopnji in ekstrakciji korena ostane: n = (/3 / 2) * a. Iz nje a = 2n / .3. Ko jo zamenjamo v osnovno formulo za vse trikotnike, dobimo izraz, ki je naveden na začetku odseka.

Primer št

Stanje Izračunajte površino enakostraničnega trikotnika, če je znano, da je njegova stran 4 cm.

Odločitev. Ker je vrednost strani slike znana, je treba uporabiti prvo formulo.

Najprej morate kvadrirati številko 4. Iz te akcije dobite številko 16. Sedaj se zmanjša s štirimi, ki stojijo v imenovalcu. Posledično 4 in remain3 ostajata v števcu, imenovalec pa je enak enemu, kar pomeni, da ga preprosto ni mogoče zapisati. To je rezultat, ki ga je treba najti v problemu.

Odgovor: 4,3 cm2.

Primer 2

Stanje Vse strani enakostraničnega trikotnika so enake 22 dm. Izračunajte njegovo območje.

Odločitev. Argumenti so enaki kot pri prvi nalogi. Različna bo le stranska kvadratna vrednost. Vgrajen mora biti posebej druga stopnja 2 in iracionalnost. Rezultat bo naslednji: 4 * 2 = 8. Po redukciji z imenovalcem ostajata 2 in remain3 v števcu frakcije in imenovalec izgine.

Odgovor: 2√3 dm ² .

Primer številka 3

Stanje V enakostranični trikotnik je vpisan krog, njegov polmer je 2,5 cm, zato je potrebno izračunati površino trikotnika.

Odločitev. Za izračun želene vrednosti morate uporabiti drugo formulo.

Najprej je treba vrednost kvadrata polmera. Izkazalo se je, 6.25. Nato je treba to vrednost pomnožiti s 3. Rezultat te akcije je številka 18.75. Vendar to ni končna vrednost: imela bo faktor ,3, ki je prisoten v uporabljeni formuli.

Odgovor: 18,75 × 3 cm ² .

Primer 4

Stanje Potrebno je določiti, kakšna je površina enakostraničnega trikotnika, če je njegova višina znana - 3 dm.

Odločitev. Seveda morate izbrati četrto formulo. S svojo pomočjo boste najlažje našli odgovor na to težavo.

Dovolj je samo kvadratno številko 3, to je višino, ki bo dala vrednost 9. In potem jo razdelimo z ,3, ki stoji v formuli.

Ker v matematiki ni običajno pustiti iracionalnosti v imenovalcu odgovora, se ga morate znebiti. V ta namen je treba delež 9/93 pomnožiti z ulomkom z enakim števcem in imenovalcem, in sicer /3 / 3. Iz tega dejanja se v števcu prikaže vrednost 9√3, številka 3 pa se pojavi v imenovalcu.

Ta del To je končni rezultat.

Odgovor: površina je 3√3 dm ² .

Primer številka 5

Stanje Podan je enakostranični trikotnik s površino 27 cm ² . S to vrednostjo morate poznati dolžino strani slike.

Odločitev. Ker gre za stran, bo prva formula naredila. Iz nje lahko takoj dobite matematični izraz, ki vam omogoča, da določite stran trikotnika.

V ta namen je treba območje pomnožiti s 4 in deliti s kvadratnim korenom treh. Torej dobite vrednost za stran na trgu. Da bi dobili samo stran, morate izvleči koren. Izraz za stran bo izgledal takole: a = 2 * √ (S / )3).

Ker je območje znano, lahko takoj nadaljujete z izračuni. Radikalni izraz izgleda kot količnik 27 in .3. Treba se je znebiti iracionalnosti v imenovalcu. Izkazalo se je, da je 27√3, deljeno s 3. Po zmanjšanju 1 ostane v imenovalcu, ki ga ne morete napisati, in 9√3 ostaja v števcu.

Naslednji korak je ekstrahiranje korena iz dobljenega izraza. Prvi faktor daje vrednost 3. Toda drugi, ,3, zahteva pozornost. Za poenostavitev naloge lahko izvlečete te korenine in zaokrožite vrednosti.

3 = 1,73; zdaj izvlečemo koren iz njega in dobimo 1.32.

Ostaja samo, da ga pomnožimo z 2 in dobimo želeni rezultat.

Odgovor: stran je enaka 2.64 cm.