Študij geometrije se začne z upoštevanjem preprostih figur na ravnini, ki si jih je enostavno predstavljati z uporabo abstraktne domišljije. Ena takih številk je štirikotnik s pravimi koti. V 3. razredu splošne šole se z njo seznanijo in podrobneje raziskujejo njegove lastnosti v višjih razredih. Razmislite o glavnih značilnostih te številke v članku in navedite primere njene uporabe v vsakdanjem življenju.
Beseda "štirikotnik" pravi, da je zadevna številka sestavljena iz štirih vogalov. Na letalu bo zaprta le, če ima štiri ravne strani. Če so nasprotne strani v parih med seboj vzporedne, se taka številka imenuje paralelogram. Njegovi štirje vogali so parno enaki, lahko pa imajo poljubne vrednosti od 0 o do 180 o . Če so vsi njegovi koti enaki 90 o , potem se imenujejo naravnost. Štirikotnik s pravokotnimi koti je pravokotnik in hkrati paralelogram.
Za pravokotnik sta značilna samo dva parametra: dolžine sosednjih strani. V nadaljevanju jih bomo označili z a in b. Če so te dolžine med seboj enake, se pravokotnik izrodi v kvadrat.
Pravokotnik je popolna figura, na katero poskuša oseba v svoji življenjski dejavnosti prilegati predmete v okolici, npr. Opeko, obliko dvorišča pred hišo, računalniški monitor itd. Zato je pogosto problem izračuna površine pravokotnika.
Izračunajte površino zadevne številke ni težko. Ker je pravokotnik paralelogram, se njegovo območje izračuna kot produkt dveh dolžin: višina, znižana na določeni strani in ta stran. Višino paralelograma najdemo kot produkt sinusa enega od njegovih vogalov in njegove strani. Ker razmišljamo o določeni vrsti paralelograma - pravokotniku, je sinus pravokotnega kota enak enemu, kar pomeni, da iskana formula za območje ima naslednjo obliko:
S = a * b
Območje štirikotnika s pravim kotom je enako zmnožku dolžin dveh ne-vzporednih strani.
Spodaj je prikazano, kako najti območje pravokotnika, če so njegovi drugi elementi znani, na primer dolžina diagonale.
Spodnja slika prikazuje poljuben štirikotnik s pravimi koti in dvema diagonalama.
Vidimo, da se diagonale delijo na dva dela nasproti pravim kotom slike. Presečišče diagonal bomo označili s simbolom C. To je pomembno, ker je središče simetrije figure. Dolžina obeh diagonal je enaka.
Diagonali delijo pravokotnik na štiri enakokrake trikotnike, za katere je enostavno izračunati dolžine stranic in območja. Vsaka dva trikotnika, katerih osnove ležita na straneh enake dolžine pravokotnika, sta enaka.
Če držite eno diagonalo, bo pravokotnik razdelil na dva popolnoma enaka desna trikotnika. To dejstvo vam omogoča, da s pitagorejskim tioremom izračunate dolžino diagonale, saj poznate noge trikotnika. Spodnja slika prikazuje, kako najti kvadrat diagonale c pravokotnika. Tu je diagonala hipotenuza, stranice pravokotnika pa ustrezajo nogam trikotnika.
Nato bo vrednost dolžine c enaka:
c = √ (a 2 + b 2 )
Kot smo že omenili, je središče njegove simetrije točka C, ki jo tvorijo presečne diagonale. Glede na sliko na ravnini lahko rečemo, da je os, ki gre skozi to točko in vzporedno z dvema stranema pravokotnika, os simetrije drugega reda, to je obračanje okoli 180 o pravokotnika v sebe. Ker obravnavani štirikotnik ima dva para vzporednih strani, je očitno, da ima dve določeni osi simetrije.
Os simetrije deli obliko na dva enaka pravokotnika s stranicami:
a in b / 2 ali b in a / 2
Ker ima zadevna figura določeno simetrijo, ima pravokotne in parne paralelne strani, za to je mogoče identificirati številne pomembne lastnosti, ki se uporabljajo v praksi. Navedemo jih:
Prva lastnost je očitna, saj bo vsaka ravna črta, ki poteka skozi C, sekala vzporedne strani oblike. Dokazujemo preostale lastnosti.
Najprej upoštevamo lastnosti 2 in 3. Spodnja slika prikazuje pravokotnik s tremi trikotniki na straneh:
ABC 1 , ABC 2 in ABC 3
V skladu s formulo za iskanje območja trikotnika lahko za njih zapišemo:
S 1 = 1/2 * h 1 * AB;
S 2 = 1/2 * h 2 * AB;
S 3 = 1/2 * h 3 * AB
Vidimo lahko, da so vse višine h i obravnavanih trikotnikov enake dolžini strani h pravokotnika. To pomeni, da so njihova območja enaka:
S 1 = S 2 = S 3
Sedaj napišemo formulo za območje S pravokotnika in razdelimo S s površino enega od prikazanih trikotnikov, dobimo:
S = AB * h;
S / S 1 = AB * h / (1/2 * h * AB) = 2
Tako ima pravokotnik območje, ki je dvakrat večje od katerega koli od prikazanih trikotnikov, kar pomeni, da smo dokazali drugo in tretjo lastnost.
Kar se tiče možnosti vpisovanja štirikotnika s pravim kotom v krog, je treba trditi, kot sledi: risamo diagonale slike, sekajo se v točki C. Ker je ta točka na isti razdalji od štirih vozlišč pravokotnika, lahko služi kot središče kroga. Če je polmer kroga enak polovici dolžine diagonale, potem bo krožna črta prešla skozi vsa štiri vozlišča pravokotnika, tj.
Odgovor na vprašanje bo pozitiven le, če je zadevni štirikotnik paralelogram. V tem primeru, če je en kot enak 90 o , bodo druga dva sosednja kota prav tako ravna, kar pomeni, da bo četrti kot tudi enak 90 o . Našli smo prave kote v kvadratku vsega, kar pomeni, da je pravokotnik.
Če štirikotnik z enim pravim kotom nima parnih vzporednih strani, potem ne bo pravokotnik.
Pri izdelavi tetradnih listov uporabimo pravokotno obliko, razmerje med dolžino večje strani in manjšo pa je .2. Ta oblika slike vodi k dejstvu, da če sta razdeljena na polovico s simetrično osjo, ki je vzporedna z večjo stranjo, bosta imela dva nova oblikovana pravokotnika razmerje stranic √2. Takšna delitev se lahko nadaljuje do neskončnosti, medtem ko bo oblika nastalih pravokotnikov ohranjena.
Pravokotna oblika se uporablja pri izdelavi televizijskih zaslonov. Pred obdobjem tekočih kristalov (LCD) so bili uporabljeni zasloni z elektronskim snopom, katerih razmerje je bilo 4: 3. S prihodom LCD monitorjev visoke ločljivosti so začeli uporabljati novi standard: 16: 9.
Mozaik, ki krasi stene zgradb, ima tudi obliko štirikotnika s pravimi koti.
Članek zaključimo z obravnavo vprašanja izračuna površine štirikotnika, katerega vozlišča pravih kotov so povezana z diagonalo. Izračunajte površino modernega LCD monitorja, če je znano, da je njegova diagonala c = 35 cm.
To težavo lahko odpravite, ker ima monitor standardizirano razmerje stranic 16: 9. Če označimo s x neznani koeficient, dobimo dolžine strani monitorja:
a = 16 * x;
b = 9 * x
Zdaj uporabimo formulo za določitev diagonale, dobimo:
c 2 = a 2 + b 2 =>
35 2 = x 2 * (16 2 + 9 2 ) =>
x = 35 / √ (16 2 + 9 2 ) ≈ 1.9
Potem so stranice monitorja in njegovo območje enake:
a = 16 x x = 30,4 cm;
b = 9 x x = 17,1 cm;
S = a * b ≈ 520 cm 2
Še enkrat ugotavljamo, da lahko območje določimo z vrednostjo diagonale le, če je poznano razmerje stranic pravokotnika.