Kakšen je trenutek vztrajnosti: formule za palico in kolo

Vsako gibanje teles v vesolju, katerega trajektorija je krog, pomeni, da ne poznamo le kotne hitrosti, temveč tudi trenutek vztrajnosti za opis tega gibanja. Kakšen je trenutek vztrajnosti, kot tudi tisto, kar je enako za palico in kolo, bo ta članek odgovoril.

Vrtenje in vztrajnostni moment

Fizikalna količina, ki se imenuje trenutek vztrajnosti, je praviloma označena s črko I in se v fiziki pojavi glede na kotni moment materialne točke, ki se vrti okoli osi. Kotni moment L v skalarni obliki je zapisan z naslednjim izrazom:

L = r * m * v

Tu je r razdalja do osi materialne točke, m je njena masa, v linearna hitrost. Z uporabo razmerja slednjega s hitrostnim kotom ω dobimo izraz:

L = r ² * m * ω, kjer je ω = v / r

Na vprašanje, kaj je trenutek vztrajnosti, je treba reči, da je to vrednost I = r ² * m. To je odvisno od mase vrtljivega predmeta, hitro narašča z naraščajočo razdaljo do osi in se meri v kg * m ² .

Splošni izraz za vztrajnostni trenutek

Formula, ki je predstavljena v prejšnjem odstavku za vrednost I, je veljavna, če so dimenzije objekta zanemarljive v primerjavi z razdaljo do osi r (Zemlja se vrti okoli naše zvezde). Če linearne dimenzije objekta postanejo primerljive z razdaljo r, je potrebno izračunati I, da uporabimo bolj splošno formulo, ki je navedena spodaj:

I = ( _m (r ² * dm)

Pokaže, da je integrand trenutek vztrajnosti materialne točke. Vsota vseh trenutkov iz točk z maso dm je skupni vztrajnostni moment za celotno telo.

Ta formula je močno orodje za določanje I telesa absolutno katerekoli oblike. Po formuli je vrednost I aditivna, to pomeni, da vam omogoča, da razdelite telo na ločene dele, izračunate njihove inercijske momente in nato dodate rezultate, da dobite vrednost telesa I.

Fizični pomen I

Če vemo, kaj je trenutek vztrajnosti, je potrebno povedati nekaj besed o tem, kako njegova vrednost vpliva na obnašanje in značilnosti vrtenja realnih objektov.

Velika vrednost I vodi do dejstva, da je telo zelo težko vrteti okoli osi. Če želite to narediti, morate opraviti pomembno delo in si močno prizadevati. Primer telesa z velikim I je vztrajnik avtomobila - težak kovinski disk, ki je trdno pritrjen na motorno gred. Nasprotno, če je vrednost sistema I majhna, jo je mogoče hitro odviti in prav tako hitro in enostavno ustaviti. Primer za to je aluminijast obroč kolesnega kolesa.

Zgornja razprava nakazuje, da je moment vztrajnosti značilen z vztrajnostjo rotacijskega procesa, to pomeni, da opravlja enako vlogo kot masa telesa, ko se na silo nanese sila za pospeševanje.

Razlika med maso in vztrajnostnim momentom ni le v merskih enotah, temveč tudi v dejstvu, da je slednja funkcija rotacijskega sistema in ne le geometrije telesa in njegove mase.

Vztrajnostni moment okoli vrtilne osi seka središče mase palice

Razmislite primer uporabe integralne formule za reševanje resničnih problemov. Najprej rešimo preprost problem: tam je tanka palica dolžine l in mase m. Os se vrti pravokotno na to palico skozi središče mase predmeta. Za ta sistem je treba določiti vrednost I.

Napišemo splošno formulo za vztrajnost momenta palice okoli osi, imamo:

I = ( _m (r ² * dm)

Ker je os pravokotna na zadevno telo in je palica sama po sebi neskončno majhna debelina, jo je mogoče mentalno rezati v tanke plasti z ravninami, ki so vzporedne z osjo. V tem primeru ugotovimo, da lahko element mase dm predstavimo z naslednjo enačbo:

dm = ρ * s * dr

Tu je ρ gostota materiala, S je presek, ki je konstanten in teži na nič (palica je neskončno tanka). Ta izraz nadomestite s splošno formulo:

I = ρ * S * ∫ ^{+ l / 2} _{-l / 2} (r ² * dr)

Upoštevajte, da nadomestne integracijske meje za r ustrezajo pogoju problema (os deli palico na dva enaka dela). Izvajamo integracijo:

I = ρ * S * (r 3/3) | ^{+ l / 2} _{-l / 2} = m * l 2/12, kjer je m = ρ * S * l

Tako je vztrajnostni moment tanke palice, ko os skozi središče mase, 12-krat manjši od tistega za materialno točko iste mase, ki se nahaja na razdalji l od osi.

Vrednost I za palico z osjo vrtenja na koncu predmeta

Razmislite, kaj je trenutek vztrajnosti, v nekoliko drugačni situaciji. Imamo isti predmet (tanko palico), zdaj pa os poteka skozi konec. Kako se bo v tem primeru spremenil trenutek vztrajnosti? Z uporabo iste metode delitve palice in kasnejše integracije, kot v prejšnjem odstavku, dobimo:

I = ρ * S * ∫ ^l ₀ (r ² * dr)

Upoštevajte, da so se spremenile le meje integracije. Rešitev je naslednja enakost:

I = m * l 2/3

Izraz kaže, da bo isti paliček imel 4-kratni večji vztrajnostni moment (ki ga je težje vrteti), če je os vrtenja premaknjena od središča do roba.

Glede na rešitev teh dveh problemov je treba narediti pomemben zaključek: pri izračunu vrednosti I je nemogoče celotno maso objekta zmanjšati na njegovo središče in izvesti izračun kot za materialno točko. Izračun se izvede samo z uporabo integralnega izraza.

I vrednost za napereno kolo

Vztrajnostni moment kolesa se lahko določi z uporabo lastnosti aditivnosti obravnavane količine. Če želite to narediti, mentalno razstaviti kolo v ločene dele, ki predstavljajo napere in platišča. Ker je igla tanka palica, njena os vrtenja pa poteka skozi konec, je za to veljala formula, dobljena v prejšnjem odstavku.

Kar se tiče obroča kolesa, je vztrajnostni moment podoben tistemu za materialno točko, ki se nahaja na razdalji radija kolesa in ima maso platišča.

Če dodamo trenutke vztrajnosti vseh elementov, dobimo:

I = n * m _c * r 2/3 + m _o * r ²

Tu sta m _c in m _o napere in masa platišča, n je število naper. Če vse napere tehtajo veliko manj od platišča, bo vztrajnost koles enaka:

I = m _o * r ^2, če je n * m _c < o

Poznavanje vrednosti I za kolo je pomembno pri izračunu kotne hitrosti in vrtilne hitrosti koles katerega koli vozila (avto, kolo).