Površina prizme. Območje podlage in stranske površine. Osnovna površina trikotne prizme

Pri prostorski geometriji je pri reševanju problemov s prizmami pogosto problem pri izračunu površine strani ali obrazov, ki tvorijo te tridimenzionalne oblike. Prispevek je posvečen vprašanju določanja površine podnožja prizme in njene bočne površine.

Prizma številka

Preden nadaljujemo z obravnavo formul za osnovno površino in površino prizme ene ali druge vrste, je treba ugotoviti, katera številka je vprašljiva.

Prizma v geometriji je prostorska figura, ki je sestavljena iz dveh vzporednih poligonov, ki sta enaki, in več kvadratov ali paralelogramov. Število slednjih je vedno enako številu tock enega poligona. Na primer, če je številka sestavljena iz dveh vzporednih n-gonov, bo število paralelogramov n.

Paralelogramski n-goni se imenujejo stranice prizme, njihova skupna površina pa je površina stranske površine slike. Sami n-goni se imenujejo baze.

Zgornja slika prikazuje primer prizme iz papirja. Rumeni pravokotnik je njegov vrh. Na drugi strani stoji ista talna slika. Rdeča in zelena pravokotnika sta stranski strani.

Kakšne prizme so tam?

Obstaja več vrst prizm. Vsi se med seboj razlikujejo le z dvema parametroma:

• vrsta n-gonila, ki tvori osnovo;
• kot med n-gonilom in stranskimi površinami.

Na primer, če so osnove trikotniki, potem se prizma imenuje trikotna, če so štirikotniki, kot v prejšnji sliki, potem se številka imenuje kvadratna prizma in tako naprej. Poleg tega je lahko n-gon konveksen ali vbočen, nato pa se ta lastnost doda tudi imenu prizme.

Kot med stranskimi stranicami in podlago je lahko ravna ali ostra ali topa. V prvem primeru govorimo o pravokotni prizmi, v drugem - o nagnjeni ali poševni.

V posebni vrsti številk dodeli pravilno prizmo. Imajo najvišjo simetrijo med drugimi prizmami. Pravilna bo le, če je pravokotna in njena osnova je pravilen n-gon. Spodnja slika prikazuje niz pravilnih prizm, pri katerih se število strani n-konja giblje od treh do osem.

Površina prizme

Pod površino obravnavanih likov poljubnega tipa razumemo celotnost vseh točk, ki pripadajo obrazom prizme. Površina prizme je primerna za preučevanje glede na njen razvoj. Spodaj je primer takega čiščenja za trikotno prizmo.

Vidimo, da celotno površino tvorita dva trikotnika in tri pravokotnika.

V primeru prizme splošnega tipa bo njena površina sestavljena iz dveh n-premnih baz in n štirikotnikov.

Oglejmo si podrobneje vprašanje izračuna površine prizme različnih tipov.

Osnovna površina prizme je pravilna

Morda je najenostavnejša naloga pri delu s prizmami problem, da se najde območje podlage pravilne figure. Ker ga tvori n-gon, v katerem so vsi koti in dolžine stranic enaki, se lahko vedno razdeli na enake trikotnike, v katerih so znani koti in stranice. Skupna površina trikotnikov je območje n-gonila.

Drugi način za določitev dela površine prizme (baze) je uporaba znane formule. Ima naslednjo obliko:

S _n = n / 4 * a ² * ctg (pi / n)

To pomeni, da je območje S _n n-gonila enolično določeno iz spoznanja o dolžini njegove strani a. Pri izračunu s formulo je težko izračunati kotangens, zlasti pri n> 4 (za n≤4 so kotangenčne vrednosti tabelarni podatki). Za določitev te trigonometrične funkcije je priporočljivo uporabiti kalkulator.

Pri oblikovanju geometrijskega problema je treba paziti, ker je morda treba najti območje baz prizme. Nato se vrednost, dobljena s formulo, pomnoži z dve.

Osnovna površina trikotne prizme

Na primeru trikotne prizme preučimo, kako najti območje podlage te številke.

Najprej razmislite o enostavnem primeru - pravilni prizmi. Območje osnove se izračuna po formuli, ki je navedena v zgornjem odstavku, v njo pa je potrebno nadomestiti n = 3. Dobimo:

S ₃ = 3/4 * a ² * ctg (pi / 3) = 3/4 * a ² * 1 / =3 = √ 3/4 * a ²

Ohraniti je treba konkretne vrednosti dolžine a strani enakostraničnega trikotnika v izraz, da dobimo območje ene baze.

Recimo, da obstaja prizma, katere osnova je poljuben trikotnik. Znani sta njeni dve strani, a in b ter kot med njima. Ta slika je prikazana spodaj.

Kako v tem primeru ugotoviti, da je površina osnove prizme trikotna? Ne smemo pozabiti, da je območje katerega koli trikotnika enako polovici produkta na strani in višina spuščena na tej strani. Slika prikazuje višino h na stran b. Dolžina h ustreza zmnožku sinusa kota alfa in dolžini strani a. Potem je površina celotnega trikotnika enaka:

S = 1/2 * b * h = 1/2 * b * a * sin (α)

To je področje osnove upodobljene trikotne prizme.

Stranska površina

Ugotovili smo, kako najti območje osnove prizme. Stranska površina te slike je vedno sestavljena iz paralelogramov. Za neposredne prizme paralelogrami postanejo pravokotniki, zato je njihovo skupno površino enostavno izračunati:

S = ∑ _{i = 1} ⁿ (a _i * b)

Tu je b dolžina stranskega roba, a _i je dolžina strani i-tega pravokotnika, ki sovpada z dolžino strani n-gonila. V primeru običajne n-kotne prizme dobimo preprost izraz:

S = n * a * b

Če je prizma nagnjena, potem določite površino njene stranske površine, naredite pravokotno rezanje, izračunajte njeno obodnico P _sr in jo pomnožite z dolžino stranskega roba.

Zgornja slika prikazuje, kako narediti to rezino za nagnjeno peterokotno prizmo.