Telo je bilo vrženo pod kotom na obzorje: hitrost, domet in višina

V tem članku bomo analizirali situacijo, ko je bilo telo obrnjeno pod kotom na obzorje. To bi lahko bil metalec kamna z roko, strel iz topa, izstrelitev puščice z loka in tako naprej. Vse omenjene situacije so opisane z matematičnega vidika.

Značilnost gibanja pod kotom glede na obzorje

Kakšne so podobnosti zgornjih primerov z vidika fizike? Leži v naravi sil, ki delujejo na telo. Med prostim letom določenega telesa na njo delujejo le dve sili:

• Gravitacija.
• Odpornost na zrak

Če je telesna teža dovolj velika in je njena oblika poudarjena (izstrelek, puščica), je zračni upor zanemarljiv.

Torej je gibanje predmeta, ki je pod kotom obrnjen na obzorje telesa, naloga, v kateri se pojavi samo sila gravitacije. To je tisto, kar določa obliko poti, ki je z dobro natančnostjo opisana s parabolično funkcijo.

Enačbe gibanja po parabolični poti. Hitrost

Telo se vrže pod kotom na obzorje. Kako lahko opišete njegovo gibanje? Ker je edina sila, ki deluje med letom telesa, usmerjena navzdol, je njena vodoravna komponenta nič. To dejstvo pomeni, da je vodoravno gibanje predmeta enolično določeno z začetnimi pogoji (kot meta ali strel θ in hitrost v). Navpično gibanje telesa je živ primer primera enakomerno pospešenega gibanja, kjer konstanta g igra vlogo pri pospeševanju (9,81 m / s ² ).

Glede na zgoraj navedeno lahko zapišemo dve komponenti hitrosti letečega telesa v času t:

v _x = v * cos (θ);

v _y = v * sin (θ) - g * t

Kot je razvidno, komponenta v _x ni odvisna od časa in ostaja konstantna v celotni poti leta (zaradi odsotnosti zunanjih sil v smeri osi x). Komponenta v _y ima najvišjo vrednost v začetnem trenutku. In potem se začne zmanjševati do točke, da izgine na najvišji točki vzleta telesa. Po tem spremeni svoj znak in se v času padca izkaže, da je enak modulu začetne komponente v _y , to je v * sin (θ).

Pisne enačbe nam omogočajo, da v vsakem trenutku t določimo hitrost telesa, ki je pod kotom obrnjeno na obzorje. Modul bo enak:

v = √ (v _x ² + v _y ² ) = √ (v ² * cos ² (θ) + v ² * sin ² (θ) - 2 * v * sin (θ) * g * t + g ² * t ² ) =

= √ (v ² - 2 * v * sin (θ) * g * t + g ² * t ² )

Enačbe gibanja po parabolični poti. Razpon letov

Telo se vrže pod kotom na obzorje. Kakšna razdalja bo letela? Vprašanje obsega letal se nanaša na spremembo koordinate x. To vrednost je mogoče najti, če obe komponenti hitrosti integriramo skozi čas. Kot rezultat integracije dobimo formule:

x = v * cos (θ) * t + x ₀ ;

y = v * sin (θ) * t - g * t 2/2 + y ₀

Razlika v koordinatah x in x ₀ je območje. Če predpostavimo, da je x ₀ = 0, bo obseg enak x, da bi našli, kaj morate vedeti, kako dolgo bo telo v zraku.

Druga enačba omogoča izračun tega časa, pod pogojem, da _je znana vrednost y ₀ (višina h, iz katere se vrže telo). Ko objekt dokonča svoje gibanje (pade na tla), se njegova koordinata y spremeni v nič. Izračunajte čas, ko se to zgodi. Imamo:

v * sin (θ) * t - g * t 2/2 + h = 0

Pred nami je popolna kvadratna enakost. Rešujemo jo skozi diskriminantno:

D = v ² * sin ² (θ) - 4 * (-g / 2) * h = v ² * sin ² (θ) + 2 * g * h;

t = (-v * sin (θ) ± √D) / (2 * (-g / 2))

Zavrnemo negativni koren. Dobimo naslednji čas poleta:

t = (v * sin (θ) + √ (v ² * sin ² (θ) + 2 * g * h)) / g

Zdaj to vrednost nadomestimo z enakostjo za območje leta. Dobimo:

x = v * cos (θ) * (v * sin (θ) + √ (v ² * sin ² (θ) + 2 * g * h)) / g

Če se telo vrže iz tal, to je h = 0, potem bo ta formula veliko enostavnejša. V obliki:

x = 2 * v ² * cos (θ) * sin (θ) / g = v ² * sin (2 * θ) / g

Zadnji izraz smo dobili z uporabo povezave med trigonometričnimi funkcijami sinusa in kosinusa (redukcijska formula).

Ker ima sinus maksimalno vrednost za pravokotni kot, je največji doseg dosežen, ko telo vrže (ustreli) iz tal pod kotom 45 °, to območje pa je enako:

x = v2 / g

Višina telesa, ki se vrže pod kotom do obzorja

Zdaj definiramo še en pomemben parameter - višino, do katere lahko zapuščeni objekt vzpenja. Očitno je, da je za to dovolj, da upoštevamo samo spremembo v koordinati y.

Torej je bilo telo vrženo pod kotom na obzorje, do kakšne višine bi vzletelo? Ta višina ustreza enakosti ničle komponente hitrosti v _y . Imamo enačbo:

v _y = v * sin (θ) - g * t = 0

Rešite enačbo. Dobimo:

t = v * sin (θ) / g

Sedaj morate ta čas nadomestiti z izrazom za koordinato y. Dobimo:

y = v * sin (θ) * t - g * t 2/2 + h = v ² * sin ² (θ) / g - g / 2 * v ² * sin ² (θ) / g ² + h =

= v ² * sin ² (θ) / (2 * g) + h

Ta formula nakazuje, da je največja višina, v nasprotju z obsegom letenja, dosežena z metanjem telesa navpično (θ = 90). V tem primeru pridemo do formule:

y = v ² / (2 * g) + h

Zanimivo je, da se v vseh formulah v tem članku telesna masa ne pojavi. Značilnosti parabolične poti so neodvisne od nje, vendar le v odsotnosti zračnega upora.