Teorija verjetnosti: formule in primeri reševanja problemov

"Nesreče niso naključne" ... Sliši se, kot da je filozof dejal, toda v resnici je študij naključnosti veliko velike znanosti matematike. V matematiki se teorija verjetnosti ukvarja z naključnostjo. V članku bodo predstavljene formule in primeri nalog ter osnovne definicije te znanosti.

Kaj je teorija verjetnosti?

Teorija verjetnosti je ena izmed matematičnih disciplin, ki preučujejo naključne dogodke.

Da bi bilo malo jasnejše, dajemo majhen primer: če vrgnete kovanec navzgor, lahko pade z "orlom" ali "repom". Medtem ko je kovanec v zraku, sta obe možnosti verjetni. To pomeni, da je verjetnost možnih posledic 1: 1. Če iz krova s ​​36 kartami potegnete eno, bo verjetnost označena kot 1:36. Zdi se, da ni ničesar za raziskovanje in napovedovanje, zlasti s pomočjo matematičnih formul. Če pa ponovite določeno dejanje večkrat, lahko določite določen vzorec in na podlagi tega predvidite izid dogodkov v drugih pogojih.

Če povzamemo vse zgoraj navedeno, teorija verjetnosti v klasičnem smislu raziskuje možnost nastanka enega od možnih dogodkov v številski vrednosti.

S strani zgodovine

Teorija verjetnosti, formule in primeri prvih nalog so se pojavili v daljnem srednjem veku, ko so prvič poskusili napovedati izid iger s kartami.

Sprva teorija verjetnosti ni imela nič skupnega z matematiko. Temeljil je na empiričnih dejstvih ali lastnostih dogodka, ki bi se lahko ponovil v praksi. Prva dela na tem področju, tako kot pri matematični disciplini, so se pojavila v 17. stoletju. Blaise Pascal in Pierre Fermat sta postala prednika. Dolgo časa so preučevali igre na srečo in opazovali določene vzorce, ki so jih odločili povedati družbi.

Christian Huygens je izumil isto tehniko, čeprav ni bil seznanjen z rezultati Pascala in Fermata. Koncept "teorije verjetnosti", formul in primerov, ki so prvi v zgodovini discipline, je predstavil.

Nič manjšega pomena so dela Jakoba Bernoullija, Laplaceove in Poissonove izreke. Teorijo verjetnosti so naredili bolj kot matematično disciplino. Teorija verjetnosti, formule in primeri osnovnih nalog so dobili današnjo obliko zahvaljujoč Kolmogorovljevim aksiomom. Zaradi vseh sprememb je teorija verjetnosti postala ena izmed matematičnih odsekov.

Osnovni pojmi teorije verjetnosti. Dogodki

Glavni koncept te discipline je "dogodek". Dogodki so treh vrst:

• Verodostojno. Tisti, ki se zgodijo v vsakem primeru (padec kovanca).
• Nemogoče. Dogodki, ki se ne dogajajo v nobenem primeru (kovanec bo ostal v zraku).
• Naključno. Tisti, ki se zgodijo ali se ne bodo zgodili. Na njih lahko vplivajo različni dejavniki, ki jih je zelo težko napovedati. Če govorimo o kovancu, potem naključni dejavniki, ki lahko vplivajo na rezultat: fizične značilnosti kovanca, njegova oblika, začetni položaj, moč metanja itd.

Vsi dogodki v primerih so označeni z velikimi latinskimi črkami, z izjemo P, ki ima drugačno vlogo. Na primer:

• A = "študenti so prišli na predavanje."
• Ā = "študenti se niso udeležili predavanja."

Pri praktičnih nalogah so dogodki običajno zapisani z besedami.

Ena najpomembnejših značilnosti dogodkov je njihova enaka možnost. To pomeni, da če obrnete kovanec, so možne vse variacije prvotnega padca, dokler ne pade. Toda tudi dogodki niso enako mogoči. To se zgodi, ko nekdo posebej vpliva na izid. Na primer, "označene" igralne karte ali kocke, v katerih je težišče premaknjeno.

Več dogodkov je združljivih in nezdružljivih. Združljivi dogodki se ne izključujejo. Na primer:

• A = "študent je prišel na predavanje."
• B = »študent je prišel na predavanje«.

Ti dogodki so neodvisni drug od drugega in videz enega od njih ne vpliva na videz drugega. Nezdružljive dogodke določa dejstvo, da videz enega izključuje videz drugega. Če govorimo o istem kovancu, potem izguba "repa" onemogoča, da bi se "orel" pojavil v istem poskusu.

Ukrepi glede dogodkov

Dogodki se lahko pomnožijo oziroma dodajo, v disciplini pa se uvedejo logični svežnji "AND" in "OR".

Znesek je določen z dejstvom, da lahko obstaja dogodek A ali B, ali dva hkrati. V primeru, da so nezdružljive, slednja možnost ni mogoča, bodisi A bodisi B izpadeta.

Množenje dogodkov je sestavljeno iz videza A in B hkrati.

Zdaj lahko navedete nekaj primerov, da se bolje spomnite osnov, teorije verjetnosti in formul. Primeri reševanja težav spodaj.

Naloga 1 : Podjetje sodeluje v natečaju za pogodbe za tri vrste dela. Možni dogodki, do katerih lahko pride:

• A = "podjetje bo prejelo prvo pogodbo."
• ₁ = "podjetje ne bo prejelo prve pogodbe."
• B = "podjetje bo prejelo drugo pogodbo."
• V ₁ = "podjetje ne bo prejelo druge pogodbe"
• C = "podjetje bo prejelo tretjo pogodbo."
• C ₁ = "podjetje ne bo prejelo tretje pogodbe."

Z ukrepi na dogodkih skušamo izraziti naslednje situacije:

• K = "podjetje bo prejelo vse pogodbe."

V matematični obliki ima enačba naslednjo obliko: K = ABC.

• M = "podjetje ne bo prejelo niti ene pogodbe."

M = A ₁ B ₁ C ₁ .

Zapletite nalogo: H = "podjetje bo prejelo eno pogodbo." Ker ni znano, kakšno pogodbo bo podjetje prejelo (prvo, drugo ali tretje), je potrebno zabeležiti celoten obseg možnih dogodkov:

H = A ₁ BC ₁ υ AB ₁ C ₁ υ A ₁ B ₁ C.

In ₁ BC ₁ je vrsta dogodkov, kjer podjetje ne prejme prve in tretje pogodbe, ampak prejme drugo. Drugi možni dogodki se ustrezno zabeležijo. Simbol υ v disciplini označuje kup "OR". Če prevedete navedeni primer v človeški jezik, bo podjetje prejelo bodisi tretjo pogodbo bodisi drugo ali prvo. Podobno lahko v disciplini "Teorija verjetnosti" zapišete tudi druge pogoje. Zgoraj navedene formule in primeri reševanja problemov vam bodo pomagali sami.

Pravzaprav, verjetnost

Morda je v tej matematični disciplini verjetnost dogodka osrednji koncept. Obstajajo 3 definicije verjetnosti:

• classic
• statistične;
• geometrijsko.

Vsak ima svoje mesto v študiji verjetnosti. Teorija verjetnosti, formule in primeri (razred 9) uporabljajo predvsem klasično definicijo, ki zveni tako:

• Verjetnost situacije A je enaka razmerju med številom izidov, ki dajejo prednost njenemu pojavljanju, in številu vseh možnih izidov.

Formula izgleda takole: P (A) = m / n.

P pomeni verjetnost dogodka A.

In - dejansko, dogodek. Če obstaja primer nasproti A, ga lahko zapišemo kot Ā ali A ₁ .

m je število možnih ugodnih primerov.

n - vsi dogodki, ki se lahko pojavijo.

Na primer, A = »izvlecite kartico srčnega oblačila«. Na standardnem krovu je 36 kart, od tega je 9 kartic iz srca. V skladu s tem bo formula za reševanje naloge:

P (A) = 9/36 = 0,25.

Posledično bo verjetnost, da bo kartica srčnega kroja potegnjena iz krova, 0,25.

Za višjo matematiko

Zdaj je postalo malo znano, kaj je teorija verjetnosti, formule in primeri reševanja nalog, ki se pojavljajo v šolskem kurikulumu. Teorija verjetnosti pa se nahaja v višji matematiki, ki se poučuje na univerzah. Najpogosteje delujejo na podlagi geometrijskih in statističnih definicij teorije in kompleksnih formul.

Teorija verjetnosti je zelo zanimiva. Formule in primeri (višja matematika) je bolje začeti študirati iz majhne - s statistično (ali frekvenčno) definicijo verjetnosti.

Statistični pristop ne nasprotuje klasičnemu, ampak ga nekoliko razširi. Če je bilo v prvem primeru potrebno določiti verjetnost, da se bo dogodek zgodil, je treba pri tej metodi navesti, kako pogosto se bo to zgodilo. Tu uvajamo nov koncept "relativne frekvence", ki ga lahko označimo z W _n (A). Formula se ne razlikuje od klasične:

W _n (A) = m / n.

Če za izračun napovedi izračunamo klasično formulo, potem je statistična formula odvisna od rezultatov poskusa. Vzemite na primer majhno nalogo.

Oddelek za kontrolo procesov preverja kakovost izdelkov. Med 100 izdelki najdemo 3 podstandardne. Kako najti verjetnost pogostosti kakovostnega izdelka?

A = "nastanek kakovostnega izdelka."

W _n (A) = 97/100 = 0,97

Tako je pogostost kakovostnega blaga 0,97. Kje so dobili 97? Od 100 preverjenih izdelkov so bile 3 slabe kakovosti. Iz 100 odštejemo 3, dobimo 97, to je količina kakovostnega izdelka.

Malo o kombinatoriki

Druga metoda teorije verjetnosti se imenuje kombinatorika. Njegovo osnovno načelo je, da se lahko, če je določena A izbira na različne načine, izbira B pa na različne načine, izbira A in B lahko izvede z množenjem.

Na primer, od mesta A do mesta B vodi 5 cest. Od mesta B do mesta C vodi 4 poti. Koliko načinov lahko dobite od mesta A do mesta C?

To je preprosto: 5x4 = 20, to je dvajset različnih načinov, ki jih lahko dobite od točke A do točke C.

Otežimo nalogo. Koliko načinov za igranje kart v solitaire? V krovu 36 kart je to izhodišče. Če želite izvedeti število metod, morate »vzeti« en zemljevid iz začetne točke in ga pomnožiti.

To pomeni, da je 36x35x34x33x32 ... x2x1 = rezultat ne ustreza zaslonu kalkulatorja, tako da ga lahko preprosto označite 36 !. Znak »!« Poleg številke označuje, da se celotna vrsta številk pomnoži.

V kombinatoriki obstajajo koncepti, kot so permutacija, umestitev in kombinacija. Vsaka od njih ima svojo formulo.

Urejeni niz elementov se imenuje postavitev. Umestitve je mogoče ponoviti, to pomeni, da lahko en element uporabite večkrat. In brez ponavljanja, ko se elementi ne ponovijo. n so vsi elementi, m so elementi, ki sodelujejo pri umestitvi. Formula za umestitev brez ponovitev bo:

A _n ^m = n! / (Nm)!

Spojine n elementov, ki se razlikujejo samo po vrstnem redu umestitve, se imenujejo permutacija. V matematiki ima obliko: P _n = n!

Kombinacije n elementov z m se nanašajo na tiste spojine, v katerih je pomembno, kakšne so bile in kakšno je njihovo skupno število. Formula bo:

A _n ^m = n! / M! (Nm)!

Bernoullijeva formula

V teoriji verjetnosti, kot tudi v vsaki disciplini, obstajajo dela izjemnih raziskovalcev na svojem področju, ki so jo pripeljali na novo raven. Eno takšno delo je Bernoullijeva formula, ki omogoča določitev verjetnosti, da se določen dogodek zgodi v neodvisnih pogojih. To nakazuje, da pojav A v poskusu ni odvisen od videza ali nepojavljenosti istega dogodka v prejšnjih ali naslednjih preskusih.

Bernoullijeva enačba:

= C _n ^m ×p ^m ×q ^nm . P _n (m) = C _n ^m × p ^m × q ^nm .

Verjetnost (p) nastanka dogodka (A) je nespremenjena za vsako preskušanje. Verjetnost, da se bo stanje zgodilo natanko m krat v številu poskusov, se izračuna po zgornji formuli. Zato se postavlja vprašanje, kako najti številko q.

q = 1-p

Če se dogodek A pojavi večkrat, se morda ne zgodi. Enota je številka, ki se uporablja za označevanje vseh rezultatov situacije v disciplini. Zato je q število, ki označuje možnost nepojavitve dogodka.

Zdaj poznate Bernoullijevo formulo (teorija verjetnosti). Primeri reševanja problemov (prva stopnja) bodo nadalje obravnavani.

Naloga 2: Obiskovalec trgovine opravi nakup z verjetnostjo 0,2. 6 obiskovalcev je v trgovino vstopilo samostojno. Kakšna je verjetnost, da bo obiskovalec opravil nakup?

Rešitev: Ker ni znano, koliko obiskovalcev mora opraviti nakup, eno ali vseh šest, je treba izračunati vse možne verjetnosti z uporabo Bernoullijeve formule.

A = "obiskovalec bo opravil nakup."

V tem primeru: p = 0,2 (kot je navedeno v nalogi). Q = 1-0,2 = 0,8.

n = 6 (ker je v trgovini 6 obiskovalcev). Število m se bo razlikovalo od 0 (noben kupec ne bo kupil) do 6 (vsi obiskovalci v trgovini bodo dobili nekaj). Zato dobimo rešitev:

= C ₀ ⁶ ×p ⁰ ×q ⁶ =q ⁶ = (0,8) ⁶ P ₆ (0) = C ₀ ⁶ × p ⁰ × q ⁶ = q ⁶ = (0,8) ⁶ 0,2621. = 0.2621.

Noben od kupcev ne bo opravil nakupa z verjetnostjo 0,2621.

Kako drugače uporabiti Bernoullijevo formulo (teorija verjetnosti)? Primeri reševanja problemov (druga raven) spodaj.

Po zgornjem primeru se pojavijo vprašanja o tem, kje sta C in p šla. Glede na p bo število v stopnji 0 enako številu. Kot je za C, je mogoče najti po formuli:

C _n ^m n! = n! m!(nm)! / m! (nm)!

Ker je v prvem primeru m = 0, C = 1, kar načeloma ne vpliva na rezultat. Z uporabo nove formule poskusimo ugotoviti, kakšna je verjetnost nakupa blaga za dva obiskovalca.

= C ₆ ² ×p ² ×q ⁴ = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0,2) ² P ₆ (2) = C ₆ ² × p ² × q ⁴ = (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (2 × 1 × 4 × 3 × 2 × 1) × (0,2) ² (0,8) ⁴ × (0,8) ⁴ 15 × 0,04 × 0,4096 = 0,246. = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246 .

Teorija verjetnosti ni tako zapletena. Bernoullijeva formula, katere primeri so predstavljeni zgoraj, je neposreden dokaz tega.

Poissonova formula

Poissonova enačba se uporablja za izračun neverjetnih naključnih situacij.

Osnovna formula:

P _n (m) = λ ^m / m! e ^(-λ) . × e ^(-λ) .

V tem primeru je λ = n x p. Tukaj je preprosta Poissonova formula (teorija verjetnosti). Primeri reševanja problemov bodo obravnavani kasneje.

Naloga 3 : Tovarna je izdelala dele v višini 100.000 kosov. Pojav okvarjenih delov = 0.0001. Kakšna je verjetnost, da bo stranka 5 pomanjkljivih delov?

Kot vidimo, je poroka malo verjeten dogodek, zato se za izračun uporablja Poissonova formula (teorija verjetnosti). Primeri reševanja tovrstnih problemov se ne razlikujejo od drugih nalog discipline, v zgornji formuli nadomestimo potrebne podatke:

A = "naključno izbrani del bo okvarjen."

p = 0,0001 (glede na stanje naloge).

n = 100.000 (število delov).

m = 5 (okvarjeni deli). Podatke v formuli nadomestimo in dobimo:

R _100,000 (5) = 10 5/5! Xe ^-10 = 0,0375.

Tako kot Bernoullijeva formula (teorija verjetnosti), primeri rešitev, s pomočjo katerih so zapisani zgoraj, ima Poissonovo enačbo neznano e. V bistvu jo lahko najdemo po formuli:

e- ^λ = lim _{n -> ∞} (1-λ / n) ⁿ .

Vendar pa obstajajo posebne tabele, v katerih se nahajajo skoraj vse e vrednosti.

Izrek Moivard-Laplace

Če je v Bernoullijevi shemi število testov dovolj veliko, in verjetnost pojava dogodka A je enaka v vseh shemah, potem je verjetnost pojava dogodka A določenega števila krat v seriji preskusov mogoče najti z uporabo Laplaceove formule:

P _n (m) = 1 / pnpq x ϕ (X _m ).

X _m = m-np / pnpq.

Da bi bolje zapomnili Laplaceovo formulo (teorija verjetnosti), primere težav, ki vam bodo pomagali spodaj.

Naloga 4: Oglaševalski agent razdeli 800 letakov. Po statističnih raziskavah vsak tretji letak najde potrošnika. Kakšna je verjetnost, da bo delovalo točno 267 letakov?

n = 800;

m = 267;

p = 1/3;

q = 2/3.

Najprej najdemo X _m , podatke (ki so vsi zgoraj navedeni) nadomestimo s formulo in dobimo 0,025. Z uporabo tabel najdemo število 25 (0,025), katerega vrednost je 0,3988. Zdaj lahko nadomestite vse podatke v formuli:

P ₈₀₀ (267) = 1 / √ (800 x 1/3 x 2/3) x 0,3988 = 3/40 x 0,3988 = 0,03.

Torej je verjetnost, da letak bo deloval točno 267-krat, je 0,03.

Formula Bayes

Bayesova formula (teorija verjetnosti), primeri reševanja nalog, s pomočjo katerih bomo podali spodaj, je enačba, ki opisuje verjetnost dogodka, ki temelji na okoliščinah, ki bi lahko bile z njo povezane. Osnovna formula je naslednja:

Р (А | B) = Р (В | А) х Р (А) / Р (В).

A in B sta določena dogodka.

P (A | B) je pogojna verjetnost, tj. Dogodek A se lahko pojavi, če je dogodek B resničen.

P (B | A) - pogojna verjetnost dogodka B.

Torej je zadnji del malega tečaja "Teorija verjetnosti" Bayesova formula, primeri rešitev problemov, s katerimi spodaj.

Naloga 5 : V skladišče smo pripeljali telefone treh podjetij. Hkrati je del telefonov, proizvedenih v prvem obratu, 25%, na drugem - 60%, na tretjem - 15%. Znano je tudi, da je povprečni odstotek izdelkov z napako v prvi tovarni 2%, v drugem - 4%, v tretjem pa 1%. Potrebno je najti verjetnost, da bo naključno izbran telefon okvarjen.

A = "naključno vzet telefon."

B ₁ je telefon, ki ga proizvaja prva tovarna. V skladu s tem bosta predvidena uvodna B2 in ₃ (za drugo in tretjo tovarno).

Zato dobimo:

P (B1) = 25% / 100% = 0,25; P (B2) = 0,6; P (B ₃ ) = 0,15 - tako smo našli verjetnost vsake možnosti.

Zdaj morate najti pogojne verjetnosti za želeni dogodek, to je verjetnost, da bodo v podjetjih poškodovani izdelki:

P (A / B1) = 2% / 100% = 0,02;

P (A / B2) = 0,04;

P (A / B3) = 0,01.

Sedaj bomo podatke nadomestili z Bayesovo formulo in dobili bomo:

P (A) = 0,25 x 0,2 + 0,6 x 0,4 + 0,15 x 0,01 = 0,0305.

V članku je predstavljena teorija verjetnosti, formule in primeri reševanja problemov, vendar je to le vrh ledene gore obsežne discipline. In po vsem, kar je bilo napisano, bo logično vprašati, ali je teorija verjetnosti v življenju nujna. Za običajno osebo je težko odgovoriti, bolje je vprašati tistega, ki je z njim večkrat zlomil jackpot.