Kako narediti enačbo ravne črte na dveh točkah: dvodimenzionalne in tridimenzionalne primere
Ravna črta v geometriji je eden najpomembnejših elementov, saj je iz nje zbranih veliko številk, tako na ravnini kot v prostoru. Dovolj je poimenovati trikotnik, paralelogram, prizmo, piramido - vse so oblikovane s križanjem ravnih črt. Ta članek odgovarja na vprašanje, kako narediti enačbo z dvema točkama.
Enačba črte za dvodimenzionalne in tridimenzionalne primere
Preden nadaljujete z razpravo o vprašanju, kako narediti enačbo s premico z dvema točkama, morate razumeti, o čem se razpravlja.
Enačbo ravne črte razumemo kot enakost, povezano s sprejetim koordinatnim sistemom, in vse vrednosti spremenljivk, ki jo izpolnjujejo, morajo ležati na eni premici. V dvodimenzionalnih in tridimenzionalnih primerih je to enačbo mogoče definirati na naslednji način:
Q = P + α * u¯
Tu je Q koordinata poljubne točke linije, P je koordinata določene točke, ki pripada črti, u¯ je smerni vektor, α je vsako realno število. Smerni vektor u je vzporeden s premico. Ta izraz se imenuje parametrično-vektorska enačba.
V dvodimenzionalnem primeru je vsaka točka na ravnini enolično določena z dvema koordinatama x in y, tako da lahko napišemo enačbo vrstice v obliki:
(x; y) = (x 0 ; y 0 ) + α * (a; b)
Kjer so (x 0 ; y 0 ) koordinate znane točke črte, so (a; b) koordinate usmerjevalnega vektorja. V parametrični obliki lahko to enačbo prepišemo kot sistem dveh enačb:
x = x 0 + a * a;
y = y 0 + α * b.
Pri izražanju alfa parametra in izenačevanju dobljenih enakosti pridemo do oblike:
y = b / a * x + (y 0 -x 0 * b / a) ali
y = A * x + C, kjer je A = b / a, C = (y 0 - x 0 * b / a)
Rezultat je znan vsakemu študentu. Imenuje se splošna enačba črte na ravnini.
V prostoru vsaka točka ni podana z dvema, temveč s tremi koordinatami, zato ima njena parametrično-vektorska enačba obliko:
(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) + α * (a; b; c)
Parametrično-vektorska enačba je primerna za uporabo, ko morate narediti enačbo premice, ki gre skozi dve točki.
Ravna in dve točki
Zdaj razmislite o vprašanju članka neposredno. Kako narediti neposredno enačbo z dvema točkama? Najprej dobimo enačbo na ravnini in jo nato posplošimo za tridimenzionalni primer.
Recimo, da sta na ravnini P (x 1 ; y 1 ) in Q (x 2 ; y 2 ) dve točki. Če vzamemo razliko med koordinatami točk, dobimo vektor, ki je usmerjen od enega do drugega. Ta vektor je enak:
PQ¯ (x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 )
V tem primeru je PQ¯ usmerjen iz P (začetek usmerjenega segmenta) v Q (njegov konec). Ker obe točki pripadata vrstici, ji pripada vektor PQ¯. To pomeni, da se lahko šteje za vodilno. Enačba ravne črte ima obliko:
(x; y) = (x 1 ; y 1 ) + α * (x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 )
Tu smo vzeli točko P. Če jo nadomestimo s točko Q, se enačba ne bo spremenila.
Kako narediti enačbo ravne črte v prostoru z dvema točkama? Če povzamemo formulo za ravnino, dobimo:
(x; y; z) = (x 1 ; y 1 ; z 1 ) + β * (x 2 -x 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 -z 1 )
Druga črka za parameter je prikazana kot neodvisnost te in prejšnjih enačb.
Primer reševanja problema
Ko smo ugotovili, kako narediti neposredno enačbo za dve točki, dajemo primer uporabe znanja, pridobljenega za dvodimenzionalni primer.
Recimo, da so na ravnini točke (3; -4) in (0; 7). Potrebno je narediti neposredno enačbo skozi dve točki.
Izračunajte koordinate vodilnega vektorja:
(0-3; 7 - (- 4)) = (-3; 11)
Parametrično-vektorska enačba ima obliko:
(x; y) = (3; -4) + α * (- 3; 11)
Odprite ga in ga pripnite v splošni obrazec:
x = 3 - 3 * α => α = (x-3) / (- 3);
y = -4 + 11 * α => α = (y + 4) / 11;
(x-3) / (- 3) = (y + 4) / 11 =>
y = -11 / 3 * x + 7.
Enačbo smo dobili v običajni (splošni) obliki. Njegovo veljavnost lahko preverite tako, da koordinate obeh točk nadomestite s stanjem problema.