Značilnosti reševanja problemov pri določanju hitrosti reke. Primeri rešitev
Eden od fascinantnih problemov matematike in fizike, ki ga učitelj predlaga reševanju šolarjev, je problem določanja hitrosti toka reke. V članku bomo obravnavali značilnosti reševanja teh problemov in podali nekaj konkretnih primerov.
Katere naloge bodo obravnavane?
Vsi vemo, da ima voda v reki določeno stopnjo pretoka. Ravne reke (Don, Volga) tečejo relativno počasi, majhne gorske reke odlikuje močan tok in prisotnost vodnih lijakov. Vsak plavajoči predmet, ki je vržen v reko, se bo odmaknil od opazovalca pri hitrosti toka reke.
Ljudje, ki so se kopali v reki, vedo, da je zelo težko plavati proti njenemu toku. Če želite premakniti nekaj metrov, morate vložiti veliko več truda kot pri selitvi v jezero. Nasprotno, pretok se izvaja skoraj brez porabe energije. Dovolj je, da telo ostane v zraku.
Vse te značilnosti nam omogočajo, da naredimo naslednji pomemben zaključek: če se telo, ki ima hitrost v v mirujoči vodi, premika v strugi, bo njegova hitrost glede na obalo enaka:
- v + u za tok;
- v - u za premik proti toku.
Tu je u hitrost pretoka.
Če se telo premakne pod določenim kotom v tok, bo dobljeni vektor njegove hitrosti enak vsoti vektorjev v in u¯.
Formule za zapomniti
Poleg zgoraj navedenih informacij, bi morali za reševanje težav na hitrosti reke zapomniti nekaj formul. Navedemo jih.
Hitrost toka je konstantna vrednost, vendar se hitrost telesa (čoln, čoln, plavalec) v splošnem primeru lahko spreminja, tako po velikosti kot v smeri. Za enakomerno premočrtno gibanje velja naslednja formula:
S = v * t
Kjer je S prevožena razdalja, je v hitrost gibanja telesa. Če se gibanje zgodi s pospeškom a, se uporabi formula:
S = a * t 2/2
Poleg teh formul za uspešno reševanje problemov je potrebno uporabiti trigonometrične funkcije pri razgradnji vektorjev hitrosti v komponente.
Zdaj se obrnemo na reševanje specifičnih problemov.
Naloga z ladjo in ribičem
Eden od ribičev se je odločil, da gre na svoj čoln brez motorja proti toku reke na razdalji 2 km. V stoječi vodi bi to razdaljo prekril v 30 minutah, ko pa se je vozil po reki, bi potreboval celo uro. Potrebno je ugotoviti, kolikšen je pretok reke.
Ker je hitrost vode v reki neznana, jo označimo s črko x. Hitrost jadrnice je prav tako neznana, vendar jo je mogoče izračunati z uporabo vrednosti iz pogoja za premik v mirni vodi. Pridobite za plovila hitrost v:
v = S / t 1 = 2 / 0,5 = 4 km / h
Našli smo hitrost, s katero lahko ribič na ladji pluje po mirnem jezeru. Da bi ugotovili hitrost plovila glede na tok, je potrebno od vrednosti, ki jo najdemo, odšteti vrednost x. Potem, da gremo gor po reki, lahko napišemo naslednjo enačbo:
S = (4 - x) * t 2
Tukaj izrazite vrednost neznanega parametra, imamo:
x = 4 - S / t 2
Še vedno je treba zamenjati številke iz stanja težave in zabeležiti odgovor:
x = 4 - S / t 2 = 4 - 2/1 = 2 km / h
Tako je hitrost toka v reki polovica tiste, ki jo ima čoln.
Naloga z motornim čolnom
Motorni čoln vsak dan preide na reko od točke A do točke B. Razdalja med A in B je 7 km. Znano je, da je hitrost plovila dolvodno 8 km / h. Kakšna je hitrost toka, če jadrnica na poti navzdol reke porabi 10 minut več časa kot pa se premakne navzgor?
V tem primeru ne poznamo niti hitrosti motornega čolna niti hitrosti vode v reki. Označimo prvo kot y, drugo pa x. Nato lahko napišete naslednje štiri enačbe:
x + y = 8;
S / t 1 = x + y;
S / t 2 = y - x;
t 2 - t 1 = 1/6
Prva enačba odraža hitrost plovila navzdol, druga in tretja enačba se nanašata na čas in hitrost, ko se premikajo navzdol in navzgor. Četrta enačba izhaja iz pogoja problema časovne razlike med prednjo in povratno potjo med točkama A in B. t
Najprej iz teh enačb najdemo čas t 1 in t 2 :
t 1 = 7/8 = 0,875 h;
t 2 = 1/6 + 7/8 = 1,0417 h
Za določitev hitrosti vode v reki, odštejemo tretjo enačbo od druge, dobimo:
S / t 1 - S / t 2 = 2 * x =>
x = S / 2 * (1 / t 1 - 1 / t 2 )
Z nadomestitvijo izračunanih vrednosti t 1 in t 2 v to enakost in razdaljo med točkami S vidimo, da voda v reki teče s hitrostjo 0,64 km / h.
Naloga: premikanje čolna pod kotom na tok
Zdaj rešujemo problem, ki zahteva sposobnost uporabe trigonometričnih formul.
Čoln se je začel premikati iz ene obale reke v drugo pod kotom 60 o proti toku. Hitrost plovila v mirni vodi je 10 km / h. Hitrost toka je 2 km / h. Treba je ugotoviti, kako daleč se bo čoln gibal vzdolž obale, prihaja na nasprotno stran reke. Širina rečnega korita je 500 metrov.
To nalogo je treba rešiti tako, da se pot plovila razdeli na dve komponenti: pravokotno in vzporedno z obalo. Z uporabo podatkov naloge lahko za pravokotno komponento poti napišete izraz:
v * sin (60 o ) * t = S 1
Kjer je v hitrost čolna, je S 1 širina reke. Če zamenjamo podatke, najdemo čas, ko je bila ladja na poti:
t = S 1 / (v * sin (60 o )) = 0.0577 h
Da bi izračunali pot S 2 vzporedno z obalo, je treba hitrost toka dodati vodoravni projekciji hitrosti plovila, nato pa bo ustrezna enakost:
S 2 = (v * cos (60 o ) + 2) * t
Če nadomestimo znane vrednosti, dobimo odgovor: čoln ob obali bo potoval 404 metrov.