Diskriminatorni: primeri rešitev. Kako rešiti kvadratne enačbe preko diskriminantne

Kvadratne enačbe se pogosto pojavljajo pri reševanju različnih problemov fizike in matematike. V tem članku bomo pogledali, kako rešiti te enakosti na univerzalni način "s pomočjo diskriminantne". V članku so navedeni tudi primeri uporabe pridobljenega znanja.

O katerih enačbah govorimo?

Spodnja slika prikazuje formulo, v kateri je x neznana spremenljivka, in latinski znaki a, b, c so nekatere znane številke.

Vsak od teh simbolov se imenuje koeficient. Kot lahko vidite, številka "a" stoji pred spremenljivko x na kvadrat. To je največja zastopana stopnja izražanja, zato jo imenujemo kvadratna enačba. Njegovo drugo ime se pogosto uporablja: enačba drugega reda. Vrednost samega a je kvadratni koeficient (stoji s spremenljivko na kvadrat), b je linearni koeficient (poleg spremenljivke, ki se dvigne na prvo moč), in končno, število c je prost izraz.

Upoštevajte, da je tip enačbe, ki je prikazan na zgornji sliki, običajen klasični kvadratni izraz. Poleg tega obstajajo še druge enačbe drugega reda, pri katerih so koeficienti b, c lahko enaki nič.

Ko je naloga rešiti obravnavano enakost, pomeni, da je treba najti takšne vrednosti spremenljivke x, ki bi jo zadovoljila. Najprej je treba zapomniti naslednje: ker je najvišja stopnja X 2, ta tip izraza ne more imeti več kot dve rešitvi. To pomeni, da če smo pri reševanju enačbe ugotovili 2 vrednosti x, ki ju izpolnjujeta, ste lahko prepričani, da ne obstaja tretja številka, ki bi nadomestila, ki bi namesto x enakost prav tako veljala. Enačbe rešitev v matematiki ga imenujejo korenine.

Načini reševanja enačb drugega reda

Reševanje enačb te vrste zahteva poznavanje nekaterih teorij o njih. V šolskem tečaju algebre upoštevamo 4 različne metode reševanja. Navedemo jih:

• z uporabo faktorizacije;
• z uporabo formule za celoten kvadrat;
• uporabo grafov ustrezne kvadratne funkcije;
• z uporabo diskriminantne enačbe.

Poleg tega je prva metoda njegova preprostost, vendar je ni mogoče uporabiti za vse enačbe. Druga metoda je univerzalna, vendar nekoliko okorna. Tretja metoda je prepoznavna po svoji jasnosti, vendar ni vedno primerna in uporabna. In končno, uporaba diskriminacijske enačbe je univerzalen in dokaj preprost način, da najdemo korenine absolutno enačbe drugega reda. Zato v članku upoštevamo samo to.

Formula za pridobitev korenin enačbe

Obrnimo se k splošni obliki kvadratne enačbe. Zapišemo: a * x² + b * x + c = 0. Pred uporabo metode reševanja "skozi diskriminantno" je treba enakost vedno zmanjšati na zabeleženo obliko. To pomeni, da mora biti sestavljen iz treh izrazov (ali manj, če je b ali c 0).

Na primer, če obstaja izraz: x²-9 * x + 8 = -5 * x + 7 * x², potem morate najprej prenesti vse njegove člane na isto stran enačbe in dodati izraze, ki vsebujejo spremenljivko x, v enakih močeh.

V tem primeru bo ta operacija povzročila naslednji izraz: -6 * x²-4 * x + 8 = 0, kar je enakovredno enačbi 6 * x² + 4 * x-8 = 0 (tu pomnožimo levo in desno stran enakosti s -1) .

Ko se zgornji korak nauči, se morate naučiti razlikovati koeficiente. Pri tem je vse preprosto: kadar je x² vedno a, ko je x ¹ b, je prosti izraz c število, ki ni povezano s x.

V zgornjem primeru je a = 6, b = 4, c = -8. Upoštevajte, da se vsi obravnavani člani enakosti vedno zberejo med seboj, zato, če se pojavi znak "-", to pomeni, da je ustrezen koeficient negativen, kot v tem primeru c.

Ko smo analizirali ta trenutek, se zdaj obrnemo na samo formulo, ki omogoča pridobitev korenov kvadratne enačbe. Izgleda, da je prikazana na spodnji fotografiji.

Kot je razvidno iz tega izraza, vam omogoča, da dobite dve koreni (pazite na znak "±"). Za to je dovolj, da koeficiente b, c in a nadomestimo.

Koncept diskriminantne

V prejšnjem odstavku je bila podana formula, ki vam omogoča hitro reševanje enačbe drugega reda. V njem se korenski izraz imenuje diskriminanten, to je D = b²-4 * a * c.

Zakaj je ta del formule izoliran in ima celo svoje ime? Dejstvo je, da diskriminant povezuje vse tri koeficiente enačbe v en sam izraz. Slednje dejstvo pomeni, da v celoti nosi informacije o koreninah, ki jih lahko izrazimo na naslednjem seznamu:

1. D> 0: enakost ima dve različni rešitvi, oba sta realna števila.
2. D <0: dobimo tudi dva korena, vendar sta oba kompleksna. Tovrstno izražanje se je učilo reševati le v renesansi, ko so matematiki novega časa uvedli pojem »imaginarne enote«.
3. D = 0: enačba ima samo en koren in je resnično število.

V nadaljevanju so predstavljeni primeri diskriminantnih kvadratnih enačb in njihova rešitev.

Naloga določanja diskriminanta

Predstavljamo preprost primer, kako najti diskriminanta. Naj bo dana naslednja enakost: 2 * x² - 4 + 5 * x-9 * x² = 3 * x-5 * x² + 7.

Pripeljemo jo v standardni obrazec, dobimo: (2 * x²-9 * x² + 5 * x²) + (5 * x-3 * x) + (- 4-7) = 0, od koder pridemo do enakosti: -2 * x² + 2 * x-11 = 0. Tu je a = -2, b = 2, c = -11.

Zdaj lahko uporabimo formulo za diskriminantno: D = 2² - 4 * (- 2) * (- 11) = -84. Dobljena številka je odgovor na nalogo. Ker je v tem primeru diskriminant manj kot nič, lahko rečemo, da ta kvadratna enačba nima prave korenine. Njegova odločitev bo le številke kompleksnega tipa.

Primer neenakosti skozi diskriminantno

Rešujemo probleme nekoliko drugačnega tipa: podana enakost je -3 * x²-6 * x + c = 0. Treba je najti vrednosti c, za katere je D> 0.

V tem primeru je znanih le 2 od 3 koeficientov, zato natančne vrednosti diskriminanta ni mogoče izračunati, vendar je znano, da je pozitivna. Slednje dejstvo se uporablja pri konstrukciji neenakosti: D = (-6) ²-4 * (- 3) * c> 0 => 36 + 12 * c> 0. Rešitev nastale neenakosti vodi do rezultata: c> -3.

Preverite številko. V ta namen izračunamo D za 2 primera: c = -2 in c = -4. Število -2 zadošča dobljenemu rezultatu (-2> -3), ustrezni diskriminant pa bo imel vrednost: D = 12> 0. Po drugi strani pa število -4 ne ustreza neenakosti (-4 <-3), izračunamo diskriminantno: D = -12 <0, kar je v nasprotju s stanjem problema.

Tako bodo vse številke c, večje od -3, izpolnjevale pogoj.

Primer reševanja enačbe

Predstavljamo problem, ki ni sestavljen le iz iskanja diskriminantne, ampak tudi pri reševanju enačbe. Treba je najti korenine za enakost -2 * x² + 7-9 * x = 0.

V tem primeru je diskriminantna enaka naslednji vrednosti: D = 81-4 * (- 2) * 7 = 137. Potem so koreni enačbe definirani kot: x = (9 ± √137) / (- 4). To so točne vrednosti korenin, če izračunamo koren približno, dobimo številke: x = -5.176 in x = 0.676.

Geometrijski problem

Rešili bomo problem, ki bo zahteval ne samo sposobnost izračuna diskriminantne, ampak tudi uporabo spretnosti abstraktnega razmišljanja in znanja, kako narediti kvadratne enačbe.

Bob je imel odejo 5 x 4 metrov. Fant ga je hotel šivati ​​po obodu trdega traku lepih tkanin. Kako debel bo ta trak, če bo znano, da ima Bob 10 m² tkanine.

Pustimo, da ima trak debelino x m, potem bo površina tkanine vzdolž dolge strani odeje (5 + 2 * x) * x, in ker so dolge stranice 2, imamo: 2 * x * (5 + 2 * x). Na kratki strani bo površina šivane tkanine 4 * x, ker so te strani 2, dobimo vrednost 8 * x. Upoštevajte, da je bila vrednost 2 * x dodana na dolgo stran, ker se je dolžina odeje povečala za to število. Skupna površina tkanine, zašita do odeje, je 10 m². Zato dobimo enakost: 2 * x * (5 + 2 * x) + 8 * x = 10 => 4 * x² + 18 * x-10 = 0.

Za ta primer je diskriminant: D = 18²-4 * 4 * (- 10) = 484. Njegova korenina je 22. S formulo najdemo želene korenine: x = (-18 ± 22) / (2 * 4) = (- 5; 0,5). Očitno je, da je od dveh korenov, samo številka 0,5 primerna za izjavo problema.

Tako bo trak tkanine, ki ga Bob zašije na svojo odejo, širok 50 cm.