Kompleksne številke in dejanja na njih

Kompleksna števila v tradicionalnem pomenu besede niso številke, ki se uporabljajo pri štetju in merjenju, temveč so matematični predmeti, ki jih določajo spodaj navedene lastnosti.

Uporabite 3 oblike kompleksnega števila: algebrsko, eksponencialno, trigonometrično.

Algebraična oblika

Kompleksna števila so označena z izrazom ω + νi, kjer sta ω in ν realna, simbol i pa je določen s pogojem i ² - 1 - enota je namišljena.

Skladno s tem je kompleksno število ω + νi razdeljeno na realne in imaginarne dele. Za udobje je upodobljen v eni črki (npr. Η ): η = ω + νi .

Deli kompleksnega števila η = ω + νi , realni in namišljeni, so označeni z ω = Reη, ν = Itη .

Kompleksne številke se štejejo za enake, če so njihovi realni in namišljeni deli enakovredni. Za kompleksno število velja, da je enako nič, če so njegovi deli, realni in namišljeni, enaki nič.

Aritmetične operacije

Dodatek

Vsota kompleksnih števil je kompleksno število, katerega dejanski del je enak vsoti realnih delov, imaginarni pa je vsota imaginarnih delov:

η = (ω ₁ + ω ₂ ) + (ν ₁ + ν ₂ ) i.

Rečeno je, da smo med kompleksom η pridobili zaradi dodajanja števila kompleksa :

η = η ₁ + η _2.

Kompleks η ₁ in η ₂ označujemo kot izraze.

Zakoni o delovanju dodajanja:

1) zakon o združljivosti;

2) zakon o komutativnosti .

Kompleksno -ω-bi se imenuje nasprotno ω + νi kompleksno število. Vsota nasprotnih kompleksnih števil je nič.

Razlika

Razlika med kompleksnimi številami se imenuje kompleksno število η, ki je enako vsoti števila η ₁ in števila nasproti η ₂ :

η = η ₁ + (- η ₂ ) = (ω ₁ -ω ₂ ) + (ν ₁ -ν ₂ ) i.

Število kompleksnih η naj bi bilo pridobljeno z odštevanjem η ₂ in η ₁ (kompleksna števila) in je zapisano:

η = η ₂ -η ₁ .

Delo

Produkt kompleksnih števil je kompleksno število:

η = (ω ₁ ω ₂ -ν ₁ ν ₂ ) + (ω ₁ ν ₁ + ω ₂ ν ₁ ) i.

Število kompleksnih η naj bi bilo dobljeno z množenjem η ₁ z η ₂ (številki η ₁ in η ₂ sta kompleksni) in pišeta:

η = η ₁ η ₂ .

Kompleks η ₁ in η ₂ imenujemo multiplikatorji.

Zakoni množenja kompleksnih števil:

1) zakon o združljivosti ;

2) zakon o komutativnosti .

Oddelek

Posebna kompleksna števila se imenujejo kompleksna η, tako da je η ₁ = η _1: η ₂ ( η2 0 ) . Zasebna kompleksna števila se izračunajo po formuli:

η = (ω ₁ ω ₂ -ν ₁ ν ₂ ) / (ω ² + ν ² ) + (ω ₁ ν ₁ + ω ₂ ν ₁ ) i / (ω ² + ν ² ).

Rečeno je, da je bilo število η pridobljeno z deljenjem η ₁ z η ₂ in je zapisano:

η = η ₁ / η _{2 .}

Dodajanje in množenje kompleksnih števil je povezano s pravilom, ki se imenuje zakon o porazdelitvenem množenju glede dodatka .

Trigonometrične kompleksne številke

Uporabite tudi drugo obliko zapisovanja kompleksnih števil, ki se imenuje trigonometrična.

Kompleksno število ω + νi lahko zapišemo kot:

η = k (cosβ + isinβ), kjer je k ² = ω ² + ν ² .

Ta izraz je oblika zapisovanja kompleksnih števil, ki se imenuje trigonometrična. Modul kompleksnega števila je realno število k in kot β , izmerjen v radianih, je njegov argument.

Če kompleksno število ni nič, potem je njegov modul pozitiven; če je η = 0 , z drugimi besedami ω = ν = 0 , je njegov modul enak nič. Modul je definiran enolično.

Produkt trigonometričnih kompleksnih števil je modul kompleksnega števila, ki je enakovreden zmnožku faktorjev oziroma njihovih modulov, argument pa je enak vsoti argumentov dejavnikov:

η ₁ η ₂ = k ₁ k ₂ [cos (β ₁ + β ₂ ) + isin (β ₁ + β ₂ )].

Zasebna trigonometrična kompleksna števila, ki niso nič, so kompleksna števila, katerih modul je enakovreden delni dividendi in delilcu (njihovih modulov), argument pa je enakovreden razliki argumentov dividend in delitelja:

η ₁ / η ₂ = k ₁ / k ₂ [cos (β ₁ -β ₂ ) + isin (β ₁ -β ₂ )].

Naravna stopnja števila kompleksnih

V matematiki je n-ta moč kompleksa η kompleks w , ki je rezultat množenja η kompleksa n krat sam po sebi: w = ηη ... η .

Običajno uporablja krajši vnos:

w = η ⁿ ,

v kateri je število η osnova stopnje, in n (naravno število) je eksponent.

N-ta moč η (kompleksno število), ki je podana v trigonometrični obliki, se izračuna po formuli:

η ⁿ = k ⁿ (cosnβ + isinnβ).

Ta formula se imenuje formula Moivre.