Prostornina stožca, njegov izračun

Geometrija kot znanost je nastala v starem Egiptu in dosegla visoko stopnjo razvoja. Slavni filozof Platon je ustanovil Akademijo, kjer je bila velika pozornost posvečena sistematizaciji obstoječega znanja. Cone kot eden od geometrijske oblike prvič omenjena v slavni razpravi Euklida "Začetek". Euclid je bil seznanjen z Platonovimi deli. Zdaj malo ljudi ve, da beseda "stožec" v prevodu iz grščine pomeni "borovec". Grški matematik Euclid, ki je živel v Aleksandriji, velja za utemeljitelja geometrične algebre. Stari Grki niso postali samo nasledniki znanja Egipčanov, temveč so tudi zelo razširili teorijo.

Zgodovina definicije stožca

Geometrija kot znanost izhaja iz praktičnih zahtev konstrukcije in opazovanja narave. Postopoma se je eksperimentalno znanje posplošilo, lastnosti nekaterih teles pa so bile dokazane prek drugih. Stari Grki so predstavili koncept aksiomov in dokazov. Axiom je izjava, pridobljena na praktičen način in ki ne zahteva dokazov.

Euclid je v svoji knjigi navedel definicijo stožca kot sliko, ki jo dobimo z vrtenjem pravokotnega trikotnika okrog ene od nog. Prav tako je lastnik glavnega izreka, ki določa obseg stožca. Ta izrek je dokazal starogrški matematik Eudoxus Cnidus.

Drugi matematik antične Grčije, Apolonij iz Perg, ki je bil študent Euklida, je razvil in razložil teorijo stožnih površin v svojih knjigah. Spada v definicijo stožčaste površine in sekantno do nje. Šolski učenci našega dneva študirajo evklidsko geometrijo, ki je ohranila glavne izreke in definicije že od antičnih časov.

Osnovne definicije

Ravni krožni stožec se oblikuje z vrtenjem pravega trikotnika okrog ene noge. Kot lahko vidimo, se koncept stožca ni spremenil od dni Euklida.

Hypotenusa AS pravokotni trikotnik AOS, ko se vrti okoli noge OS, oblikuje stransko površino stožca, zato se imenuje generatrix. Noga OS trikotnika se istočasno spremeni v višino stožca in njegove osi. Točka S postane vrh stožca. Catet AO, ki opisuje krog (osnovo), se spremeni v polmer stožca.

Če je ravnina potegnjena od vrha skozi vrh in os stožca, lahko vidite, da je nastali aksialni odsek enakokraki trikotnik, v katerem je os višina trikotnika.

Pogosto je potrebno tudi izračunati bočno površino telesa vrtljajev. Območje stranske ploskve stožca je enako izdelku, ki je enak polovici dolžine obodne osnove in tvorbi stožca.

S = C * L / 2 = n * R * L / 2

kjer je C obod baze, l je dolžina tvorbe stožca, R je osnovni radij.

Formula za izračun prostornine stožca

Za izračun prostornine stožca se uporablja naslednja formula:

V = S * H ​​/ 3,

kjer je S območje podnožja stožca. Ker je osnova krog, se njeno območje izračuna na naslednji način:

S = nR ² .

Sledi:

V = n * R ² * H / 3,

kjer je V prostornina stožca;

n je število, ki je enako 3,14;

R je osnovni radij, ki ustreza segmentu AO na sliki 1;

H - višina, ki je enaka segmentu OS.

Volumen obrezanega stožca

Obstaja ravno krožni stožec. Če je ravnina pravokotno na višino, odrezan zgornji del, dobite okrnjeno stožec. Njene osnove so okrogle oblike s polmeri R ₁ in R ₂ .

R1 = A;

R2 = B;

H = H.

Če se ravni stožec oblikuje z vrtenjem pravega trikotnika, se obrezan stožec vrti. pravokotni trapez okoli ravne strani.

Prostornina prisekanega stožca se izračuna po naslednji formuli:

V = n * (Ri2 + R2 + R1 * R2) * H / 3.

Stožec in njegov del z ravnino

V teoretičnem delu "konični odsek" spada perujski antični grški matematik Apolonij iz Pergskega. Zaradi njegovega dela v geometriji so se pojavile definicije krivulj: parabole, elipse, hiperbole. Razmislite in tukaj je stožec.

Vzemite ravni krožni stožec. Če je ravnina seka pravokotno na os, se v odseku tvori krog. Ko sekant prečka stožec pod kotom na os, se v odseku dobi elipsa.

Sekcijska ravnina, ki je pravokotna na osnovo in vzporedna z osjo stožca, tvori hiperbolo na površini. Ravnina, ki reže konus pod kotom na podlago in je vzporedna s tangento na stožec, ustvarja krivuljo na površini, ki se imenuje parabola.

Reševanje problemov

Tudi preprosta naloga, kako narediti vedro določene količine, zahteva znanje. Na primer, morate izračunati velikost žlice tako, da ima prostornino 10 litrov.

Glede na:

V = 10 l = 10 dm3;

R1 = 15 cm;

R2 = 25 cm.

Zamah stožca je shematično prikazan na sliki 3.

L - oblikovanje stožca.

Če želite ugotoviti površino žlice, ki se izračuna po naslednji formuli:

S = n * (R1 + R2) * L,

potrebno je izračunati generator. Najdemo jo iz prostornine V = n * (R ₁ ² + R ₂ ² + R ₁ * R ₂ ) * H / 3.

Zato je H = 3V / n * (R'2 + R2 + R1 * R2).

S obračanjem pravokotnega trapeza se tvori okrnjen stožec, v katerem se stranska stran oblikuje v stožec.

L2 = (R2-R1) ² + H2.

Zdaj imamo vse podatke za izdelavo žlice za risanje.

Zakaj so požarna vedra v obliki stožca?

Kdo je pomislil, zakaj imajo požarna vedra na videz čudno stožčasto obliko? In to ni samo. Izkazalo se je, da ima stožčasta žlica za gašenje požara številne prednosti pred običajno obliko stožca.

Prvič, ko se izkaže, je požarno vedro hitreje napolnjeno z vodo in se ne prelije ob prenašanju. Stožec, ki je večji od običajnega žlice, omogoča, da se prenese več vode.

Drugič, voda iz nje se lahko izloči iz večje razdalje kot iz običajnega vedra.

Tretjič, če se konično vedro izloči iz rok in pade v ogenj, se vsa voda vlije na vir ognja.

Vsi ti dejavniki lahko prihranijo čas - glavni dejavnik pri gašenju požara.

Praktična uporaba

Učenci imajo pogosto vprašanje, zakaj bi se morali naučiti izračunati količino različnih geometrijskih teles, vključno s stožcem.

In oblikovalski inženirji se nenehno soočajo s potrebo po izračunu prostornine stožčastih delov delov mehanizmov. To so konice vrtalnikov, deli stružnih in rezkalnih strojev. Stožčasta oblika omogoča vrtalnikom, da zlahka vstopijo v material, ne da bi za to potrebovali začetno drobljenje s posebnim orodjem.

Prostornina stožca ima kup peska ali zemlje, nalita na tla. Če je potrebno, lahko z enostavnimi meritvami izračunate njegovo prostornino. Nekateri bodo zmedeni zaradi vprašanja, kako ugotoviti polmer in višino kupa peska. Oborožen z merilnim trakom, izmeri obseg hriba C. S formulo R = C / 2n se naučimo polmer. Vržemo vrv (merilni trak) preko vrha, najdemo dolžino generatorja. In izračunati višino Pitagorejevega izreka in obseg ni težak. Seveda je takšen izračun približen, vendar vam omogoča, da ugotovite, ali ste vas prevarali s tem, da ste namesto kocke prinesli tono peska.

Nekatere stavbe imajo obliko okrnjenega stožca. Na primer, televizijski stolp Ostankino se približuje stožčasti obliki. Lahko je predstavljen kot sestavljen iz dveh stožcev, ki sta nameščena drug na drugega. Kupole starodavnih gradov in katedral so stožec, katerega obsežni starodavni arhitekti so izračunali z neverjetno natančnostjo.

Če pogledate bližnje predmete, so mnogi med njimi stožci:

• Posode za zalivanje tekočin;
• zvočnik za hupa;
• parkirni stožci;
• senčnik za svetilke;
• poznano božično drevo;
• pihala.

Kot je razvidno iz zgornjih primerov, je sposobnost izračuna prostornine stožca, površina njegove površine potrebna v poklicnem in vsakdanjem življenju. Upamo, da vam bo članek pomagal.