Polinomi Polinomska faktorizacija: metode, primeri

Koncepti "polinoma" in "dekompozicija polinoma na faktorje" v algebri so zelo pogosti, ker jih je treba poznati, da bi zlahka opravili izračune z velikimi večmestnimi številkami. Ta članek bo opisal več metod razgradnje. Vse so preproste za uporabo, izbrati morate pravega za vsak posamezen primer.

Polinomski koncept

Polinom je vsota monomialov, to je izrazov, ki vsebujejo samo operacijo množenja.

Na primer, 2 * x * y je monomial, toda 2 * x * y + 25 je polinom, ki je sestavljen iz 2 monomialov: 2 * x * y in 25. Takšni polinomi se imenujejo dvočlanski polinomi.

Včasih zaradi lažjega reševanja primerov z vrednostmi z več vrednostmi je treba izraz pretvoriti, na primer, razčleniti v številne dejavnike, tj. Številke ali izraze, med katerimi je izvedeno množenje. Obstaja več načinov razgradnje polinoma na faktorje. Vredno jih je razmisliti od najbolj primitivnega, ki se uporablja v osnovni šoli.

Združevanje (pišite na splošno)

Formula za razčlenitev polinoma na faktorje v načinu združevanja v splošni obliki izgleda takole:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (oglas + bd)

Monomiale je treba združiti tako, da se v vsaki skupini pojavi skupni faktor. V prvem oklepaju je faktor c, v drugem pa d. To je treba storiti, da bi ga nato odstranili iz nosilca in s tem poenostavili izračune.

Algoritem razgradnje za določen primer

Najenostavnejši primer razširitve polinoma na faktorje z metodo združevanja je podan spodaj:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

V prvem oklepaju morate upoštevati izraze z množiteljem a, ki bo skupen, drugi pa z množiteljem b. Bodite pozorni na znake + in - v končnem izrazu. Pred monomialom postavimo znak, ki je bil v začetnem izrazu. To pomeni, da morate delati ne z izrazom 25a, ampak z izrazom -25. Zdi se, da je znak minus „prilepljen“ na izraz za njo in ga vedno upošteva pri izračunu.

Naslednji korak je vzeti množitelj, ki je običajen, iz oklepaja. To je tisto, za kar se je naredilo združevanje. Izloči oklepaj pomeni, da se pred oklepajem (brez znaka množenja) zapišejo vsi tisti dejavniki, ki se natančno ponavljajo v vseh izrazih v oklepaju. Če oklepaja ni 2, a 3 Pogoji in še več, skupni faktor mora vsebovati vsak od njih, sicer ga ni mogoče vzeti iz oklepaja.

V našem primeru - samo 2 izraza v oklepajih. Skupni dejavnik je takoj viden. V prvem oklepu je a, v drugem pa - b. Pri tem morate biti pozorni na digitalne koeficiente. V prvem oklepaju sta oba koeficienta (10 in 25) večkratnika 5. To pomeni, da se lahko iz oklepa izvleče ne samo a, ampak tudi 5a. Pred oklepajih napišite 5a, nato pa razdelite vsak izraz v oklepajih po skupnem faktorju, ki je bil izrečen, in vpišite količnik v oklepajih, ne pozabite pa na znake + in -. večkratnik 7.

Torej:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).

Izkazalo se je, da sta dva izraza: 5a (2c - 5) in 7b (2c - 5). Vsak od njih vsebuje skupni faktor (celoten izraz v oklepajih tukaj sovpada, kar pomeni, da je skupni faktor): 2c - 5. Prav tako ga je treba izločiti iz oklepaja, tj.

5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

Torej, popoln izraz:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5) * (5a + 7b).

Polinom 10ac + 14bc - 25a - 35b se tako razdeli na dva faktorja: (2c - 5) in (5a + 7b). Znak množenja med njimi se lahko izpusti pri pisanju.

Včasih obstajajo izrazi te vrste: 5a ² + 50a ³ , tu lahko izvlečete ne samo a ali 5a, ampak tudi 5a ² . Vedno poskusite vzeti največji skupni faktor iz oklepaja. V našem primeru, če vsak izraz razdelimo na skupni faktor, se izkaže:

5a ² / 5a2 = 1; 50a ³ / 5a ² = 10а (pri izračunu kvocienta več stopinj z enakimi osnovami se baza ohrani in odšteje eksponent). Tako enota ostane v oklepajih (v vsakem primeru ne pozabite napisati enega, če enega izmed dodajalcev postavite iz oklepaja) in količnik: 10a. Izkazalo se je, da:

5a ² + 50a ³ = 5a ² (1 + 10a)

Kvadratne formule

Za priročnost je bilo izpeljanih več formul. Imenujejo se skrajšane množilne formule in se pogosto uporabljajo. Te formule pomagajo faktorizirati polinome, ki vsebujejo stopnje. To je še en učinkovit način faktoringa. Torej, tukaj so:

• a ² + 2ab + b ² = (a + b) ² - formula, ki se imenuje "kvadrat vsote", ker je kot rezultat razgradnje na kvadrat vsota števil v oklepaju, to pomeni, da se vrednost te vsote pomnoži sama s seboj 2-krat , kar pomeni, da je množitelj.
• a ² + 2ab - b ² = (a - b) ^{2 -} formula kvadrata razlike, je podobna prejšnji. Rezultat je razlika, zaprta v oklepajih, ki jo vsebuje kvadratna moč.
• a ² - b ² = (a + b) (a - b) je formula za razliko kvadratov, ker je prvotni polinom sestavljen iz dveh kvadratov števil ali izrazov, med katerimi se izvaja odštevanje. Morda se od omenjenih treh najpogosteje uporablja.

Primeri za izračun kvadratne formule

Izračuni na njih so preprosto. Na primer:

1. 25x ² + 20xy + 4y ² - uporabite formulo "kvadratna vsota".
2. 25 x ² je kvadratni izraz 5x. 20. je podvojen izdelek 2 * (5x * 2y), 4y ² pa kvadrat 2y.
3. Tako je 25x2 + 20xy + 4y2 = (5x + 2y) ² = (5x + 2y) (5x + 2u). Ta polinom se razcepi na 2 faktorja (faktorji so enaki, zato je napisana kot izraz s kvadratno močjo).

Ukrepi, ki uporabljajo formulo kvadratne razlike, se izvedejo na enak način. Formula ostaja razlika kvadratov. Primeri te formule so zelo enostavni za identifikacijo in iskanje med drugimi izrazi. Na primer:

• 25a ² - 400 = (5a - 20) (5a + 20). Ker je 25a ² = (5a) ² , in 400 = 20 ²
• 36x ² - 25y2 = (6x - 5y) (6x + 5y). Ker je 36x ² = (6x) ² , in 25y ² = (5y ² )
• c ² - 169b ² = (c - 13b) (c + 13b). Od 169b ² = (13b) ²

Pomembno je, da je vsak dodatek kvadrat izražanja. Nato je ta polinom odvisen od faktorizacije po formuli razlike kvadratov. Za to ni potrebno, da je druga stopnja višja od števila. Obstajajo polinomi, ki vsebujejo velike stopnje, vendar so še vedno primerni za te formule.

a ⁸ + 10a ⁴ + 25 = (a ⁴ ) ² + 2 * a ⁴ * 5 + 5 ² = (a ⁴ + 5) ²

V tem primeru je ⁸ lahko predstavimo kot (a ⁴ ) ² to je kvadrat določenega izraza. 25 je 5 ² in 10a ⁴ dvojno delo pogoji 2 * ⁴ * 5. To pomeni, da je ta izraz, kljub prisotnosti stopinj z velikimi eksponenti, mogoče razčleniti na dva faktorja, da bi z njimi delali kasneje.

Kocke s formulo

Enake formule obstajajo za faktorske poline, ki vsebujejo kocke. So nekoliko bolj zapleteni kot tisti s kvadrati:

• a ³ + b ³ = (a + b) (a ² - ab + b ² ) - ta formula se imenuje vsota kock, saj je polinom v svoji začetni obliki vsota dveh izrazov ali številk, zaprtih v kocki.
• a ³ - b ³ = (a - b) (a ² + ab + b ² ) - formula enaka prejšnji, označena kot razlika kock.
• a ³ + 3a ² b + 3ab ² + b ³ = (a + b) ^{3 je} kocka vsote, kot rezultat izračunov je podana vsota števil ali izrazov, zaprta v oklepajih in pomnožena sama s seboj 3-krat, to je v kocki
• a ³ - 3a ² b + 3ab ² - b ³ = (a - b) ³ - formula, oblikovana po analogiji s prejšnjo s spremembo le nekaterih znakov matematičnih operacij (plus in minus), se imenuje »razlika kocka«.

Zadnji dve formuli se praktično ne uporabljata za razgradnjo polinoma v faktorje, ker sta kompleksni in redko obstajajo polinomi, ki popolnoma ustrezajo takšni strukturi, tako da se lahko razširijo po teh formulah. Vendar jih morate še vedno poznati, saj bodo potrebni za ukrepe v nasprotni smeri - pri odpiranju oklepajev.

Primeri kockaste formule

Preberite primer: 64a ³ - 8b ³ = (4a) ³ - (2b) ³ = (4a - 2b) ((4a) ² + 4a * 2b + (2b) ² ) = (4a - 2b) (16a ² + 8ab) + 4b ² ).

Tukaj smo vzeli dovolj številke zato lahko takoj vidite, da je 64a ³ (4a) ³ , 8b ^{3 pa} je (2b) ³ . Torej je ta polinom razčlenjen z razliko v formuli kock po dveh faktorjih. Ukrepi na formuli za vsoto kock so narejeni po analogiji.

Pomembno je razumeti, da se vsi polinomi ne razčlenijo vsaj na enega od načinov. Vendar obstajajo takšni izrazi, ki vsebujejo večje stopnje kot kvadrat ali kocko, lahko pa jih razširite tudi v skrajšane oblike množenja. Na primer: x ¹² + 125y ³ = (x ⁴ ) ³ + (5y) ³ = (x ⁴ + 5y) * ((x ⁴ ) ² - x ⁴ * 5y + (5y) ² ) = (x ⁴ + 5y) ( x ⁸ - 5x ⁴ y + 25y ² ).

Ta primer vsebuje kar 12 stopinj. Toda tudi to je mogoče izračunati z uporabo formule za vsoto kock. Da bi to naredili, mora biti x ¹² predstavljen kot (x ⁴ ) ³ , to je kot kocka nekega izraza. Zdaj, namesto v formuli, jo je treba nadomestiti. Toda izraz 125y ³ je 5y kocka. Nato morate izdelati formulo in narediti izračune

Najprej ali v primeru dvoma lahko vedno naredite povratno množenje. V nastalem izrazu morate le odpreti oklepaje in izvesti dejanja s podobnimi izrazi. Ta metoda velja za vse navedene metode zmanjševanja: za delo s skupnim faktorjem in združevanjem, kot tudi za dejanja, ki uporabljajo formule kock in kvadratnih stopinj.