Kako izračunati kot med črto in ravnino?
Pri proučevanju šolskega tečaja geometrije v dvodimenzionalnem prostoru se veliko časa posveča obravnavi vedenja ravnih črt. Ko se obrnejo na študij stereometrije v zgornjih razredih, se v ospredje pojavijo teme ravnin in ravnih linij v prostoru. Ta članek obravnava eno od teh vprašanj. Namreč, tema izračunavanja med ravninami in pravimi koti in razdaljami.
Ravna črta na ravnini in metode za njeno nastavitev
Da bi uspešno rešili računske probleme med ravnimi črtami in ravninami kotov in razdalj, se je potrebno naučiti matematičnega postavljanja teh geometrijskih objektov in obvladati metode dela z ustreznimi enačbami. Začnemo z določitvijo črte na ravnini.
Vsak študent pozna naslednjo formulo:
y = k * x + b
Delo z njim je zelo priročno v dvodimenzionalnem prostoru. Enostavno ga je uporabiti za risanje ravne črte v pravokotnem koordinatnem sistemu. Poleg tega nam poznavanje koeficienta k za vsako od njih omogoča, da rečemo, ali bodo paralelni ali se bodo sekali (za vzporedne so njihovi koeficienti k enaki).
Če dani izraz zapišemo v nekoliko drugačni obliki, dobimo formulo splošnega tipa za ravno črto. Njena oblika je naslednja:
A * x + B * y + C = 0
Očitno lahko z uporabo preprostih transformacij dobimo prvi izraz iz njega.
Pisne formule se lahko uporabijo tudi za izračun sečišča ravnih črt. Vendar to zahteva številne spremembe, kar je neprijetno. Zato, ko naloga zahteva iskanje kota, je bolje uporabiti vektorsko obliko predstavitve črte. Njen pogled lahko zapišemo kot:
(x; y) = (x 0 ; y 0 ) + λ * (a; b)
Pri tej enakosti koordinate X in Y z indeksi nič opisujeta položaj neke točke, skozi katero poteka linija. Vrednosti a in b sta koordinata vektorja, ki leži na njem. Lahko je usmerjen tako v eno smer naravnost, v drugi pa se ravna črta ne spreminja. Ta vektor se imenuje vodilni vektor, ker enolično določa porazdelitev ravne črte na ravnini. Lambda λ je parameter, ki vzame poljubno vrednost iz množice realnih števil.
Ugotavljamo, da je vektorska oblika zapisa izjemna, ki jasno vsebuje usmerjen segment ravne črte, katere koordinate se uporabljajo za določanje kota med dvema ravnima črtama na ravnini.
Ravna v tridimenzionalnem prostoru
V prostoru, ki ga opisujejo tri koordinatne osi, je ravna črta v splošni obliki definirana kot presečišče ravnin. Tukaj, glede na temo članka, upoštevamo le vektorsko enačbo. Podoben je tistemu za ravno zadevo, toda z dodatkom tretje koordinate:
(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) + λ * (a; b; c)
Pri reševanju težav je ta izraz primeren za odpiranje in se uporablja v obliki parametrov:
x = x 0 + λ * a;
y = y 0 + λ * b;
z = z 0 + λ * c
Upoštevajte, da bo vrednost parametra λ, čeprav poljubna, odvisna od vseh treh enakosti.
Opis letala
Tako kot za ravno črto, za ravnino obstaja tudi več načinov za njeno definiranje. Razmislite samo o dveh, ki ju je treba poznati, da bi lahko reševali probleme v praksi.
Prva metoda dodelitve je, da prinesemo enačbo splošnega tipa. Podobno je ustreznemu izrazu za ravno črto v dvodimenzionalnem primeru:
A * x + B * y + C * z + D = 0
Kombinacija prvih treh koeficientov je koordinata vektorja smeri za to ravnino. Praviloma je označen s simbolom n¯, to je:
n¯ = (A; B; C)
Četrti koeficient D določa razdaljo med vzporednimi ravninami, ki imajo prve tri enake koeficiente.
Ker vektor np leži na normalu na ravnino, je pravokotno na popolnoma kateri koli vektor in ravno črto, zgrajeno na njegovih poljubnih dveh točkah. Poznavanje koordinat np je ključno pri določanju med ravnimi črtami in koti kotov.
Drugi način za definiranje ravnine je vektorsko-parametrična oblika enačbe. Tako je napisano:
(x; y; z) = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) + λ * (a 1 ; b 1 ; c 1 ) + γ * (a 2 ; b 2 ; c 2 )
Ta enakost odraža dejstvo, da dve ravni črti enolično določata ravnino v prostoru. Tu drugi in tretji izraz označujeta dva smerna vektorja za poljubne ravne črte, ki pripadata ravnini.
Normalni vektor n¯ za to obliko pisanja ni izrecno vsebovan, vendar ga je enostavno izračunati:
n¯ = [(a 1 ; b 1 ; c 1 ) * (a 2 ; b 2 ; c 2 )]
Kot med ravnimi črtami
Če so vektorske enakosti za vsako od ravnih črt znane, je kot med njimi lahek. Za to morate uporabiti lastnosti skalarnega izdelka za vodilne segmente ravnih črt. Če so vektorski vodniki označeni s simboli v¯ in u¯, potem bo zahtevana formula dobila obliko:
α = arccos (| (v¯ * u¯) | / (| v¯ | * | u¯ |))
Ker v primeru presečišča ravnih črt nastanejo dva para enakih kotov, se kot pravi kot med njimi vzame oster kot. Zato formula vsebuje znak modula v števcu.
Ta formula za dvodimenzionalni primer je vedno veljavna. Dobljena vrednost 0 o pravi, da ravne črte ne sekajo, ampak so vzporedne.
Kot v primeru prostora, je treba poleg izračuna po formuli izvesti tudi dodatne izračune. Povezane so z iskanjem presečišča zadevnih predmetov. Dejstvo je, da lahko v prostoru dobimo končno vrednost kota a, vendar ravne črte ne bodo križale, saj se lahko križajo.
Ravnina, črta in kot njihovega presečišča
Da bi našli kot med premico in ravnino, je dovolj, da poznamo enačbo za vsakega od teh objektov. Kot med njimi je kot dveh križajočih se črt, od katerih je eden original, drugi pa je ravnina in je projekcija prvotne črte na njo. Spodnja slika prikazuje ravnino, v kateri se premica premakne pod kotom α.
Če je usmerjevalni vektor za direktni vektor označen z v¯, in norma na ravnino je np (glejte sliko), potem izračun kota α dobimo po formuli:
α = arcsin (| (v¯ * n¯) | / (| v¯ | * | n¯ |))
Upoštevajte, da je v tej formuli, v nasprotju s podobnim izrazom za dve križajoči se črti, uporabljena funkcija arcsine, ne pa arc kosinusna funkcija.
Razdalja med ravnimi črtami na ravnini in ravnino ter ravnimi črtami v prostoru
Za izračun razdalje med zadevnimi predmeti v geometriji obstaja niz formul. Uporaba izraza od tega je odvisna od oblike, v kateri sta podani ravnina in črta.
Če sta dve ravnini v ravnini v splošni obliki, se lahko razdalja med njimi izračuna na naslednji način:
d = | A * x 1 + B * y 1 + C | / √ (A 2 + B 2 )
Tu sta x 1 in y 1 koordinata poljubne točke na eni premici, koeficienti A, B, C pa za drugo ravno črto. Ta formula je veljavna, če so črte vzporedne. Če se križajo, je razdalja nič.
Razdalja med črto in ravnino, ki prečka, je nič. Če je ravna črta vzporedna z ravnino, se ustrezna razdalja izračuna kot:
d = | A * x 1 + B * y 1 + C * z 1 + D | / √ (A 2 + B 2 + C 2 )
Kjer koordinate pripadajo poljubni točki na črti.
Naloga: določite kot med premico in ravnino
Glede na ravno črto in ravnino:
(x; y; z) = (1; 2; 0) + λ * (- 1; 1; 4);
-5 * x + y - 3 = 0
Kakšen je kot med premico in ravnino?
Pišemo vodila vektorja v in np:
v = (-1; 1; 4);
n¯ = (-5; 1; 0)
Nadomestimo jih v ustrezno formulo za α, dobimo:
α = arcsin (| 5 + 1 + 0 | / (*18 * √26)) ≈ 16,1 o
Naloga: najti razdaljo med ravnimi črtami
Dve enačbi ravnih črt v dvodimenzionalnem prostoru:
y = 3 * x - 1;
y = 3 * x + 3
Kakšna je razdalja med njimi?
Ker sta koeficienta k za oba objekta enaka (enaka 3), pride do vzporednih ravnih linij.
Če želite izračunati razdaljo med njimi, vzemite poljubno točko prve ravne črte in ponovno napišite drugo enačbo na splošno, imamo:
koordinate točke (0; -1);
3 * x - y + 3 = 0, to je A = 3, B = -1, C = 3
Zdaj lahko te vrednosti nadomestimo z ustrezno formulo:
d = | 3 * 0 -1 * (- 1) + 3 | / √ (9 +1) = 4 / √10 ≈ 1,265
Odgovor se sprejme v enotah tega koordinatnega sistema.