Metoda končnih elementov in njena uporaba

Metoda končnih elementov se je pojavila kot ena izmed tehnik za preučevanje različnih modelov. Trenutno je splošno priznan kot skupen način reševanja številnih nalog na različnih področjih tehnologije.

Opredelitev

Inženirska analiza z metodo končnih elementov je sestavljena iz približevanja kontinuiranega medija z neskončno velikim številom stopenj svobode z nizom elementov (poddomen), ki imajo končno število stopenj svobode. Vzpostavljena je povezava med temi elementi. Priznavanje metode je mogoče razložiti s preprostostjo matematične oblike in fizične interpretacije.

Uporaba v mehaniki

Metoda končnih elementov v mehaniki loma in v problemih strukturne mehanike je izražena kot razmerje MKE v obliki premikov. Prvič, tako imenovane funkcije obrazca so nastavljene znotraj vsakega elementa. Določajo gibanje v notranjem delu elementa z gibanjem v vozliščih. Slednje so točke, kjer so združeni končni elementi.

Neznane MKE so možna in neodvisna gibanja vozlišč modela končnih elementov (CEM). Tako je KEM design sistem fiksnih vozlišč. Dodatne povezave korelirajo s smerjo možnih premikov vozlišč.

Bistvo metode

Osnovni model modela je v osnovi podoben osnovnemu sistemu klasične metode pomikov, ki se uporablja pri izračunu paličnih sistemov. Da bi dosegli sprejemljivo natančnost rezultatov izračunov z metodo končnih elementov, je treba zmanjšati velikost elementov in s tem povečati natančnost približevanja geometrijskih značilnosti in funkcij premikov znotraj končnega elementa.

Kompleksne strukture CEM dosežejo stotine ali celo milijone stopenj svobode, zato je metoda končnih elementov v inženirstvu strojno usmerjena, njeno izvajanje pa je mogoče le s pomočjo računalnikov.

Praktično izvajanje

Za uporabo FEM v praksi je potrebno razumeti ne le teorijo mehanike, temveč tudi znanje programiranja. Uporaba metode končnih elementov pogosto temelji na variacijskih principih mehanike, ki temeljijo na dveh temeljnih skalarjih: potencialni in kinetična energija elastična konstrukcija. Opredelitev teh skalarjev, neodvisno od izbranega koordinatnega sistema, omogoča, da se napiše razmerje FEM v invariantni obliki.

Za lažje programiranje so razmerja MKE zapisana v obliki kompaktne matrike ali tenzorja. Trenutno je simulacija po metodi končnih elementov popolnoma matematično utemeljena, ustvarjajo se visoko zmogljivi programski izdelki, ki se stalno izboljšujejo skupaj s programskimi orodji.

Izobraževalni programi

Tehnični napredek, zlasti na področju računalnikov, je bistveno spremenil pogled na oblikovanje in reševanje inženirskih problemov. Konstrukcija računalniškega modela je tesno povezana z računskim procesom in je skoraj nemogoče ločiti ti dve stopnji na poti do pridobivanja praktičnih rezultatov.

Metoda končnih elementov se pogosto uporablja v inženirski praksi, kar je prispevalo tudi k vključitvi v učne načrte univerz. FEM zagotavlja načine za izgradnjo matematičnega modela obravnavanega pojava, ki temelji na njegovi fizični esenci.

Prvi učbeniki o MKE so bili napisani v kompleksnem jeziku, vendar so se kmalu po uvedbi specializiranih programov poenostavile metode poučevanja. Programski paket Assistant se je na primer dobro izkazal. Omogoča preverjanje znanja študentov na spletu in prispeva k razvoju veščin za delo s programskimi izdelki pri reševanju praktičnih problemov.

Izračun linearnih deformacij

Osnove metode končnih elementov danes temeljijo na dejstvu, da vrednosti in pojmi, ki so neločljivo povezani z njo, niso vnaprej predstavljeni, temveč izhajajo iz bistva problema strukturne mehanike. Razpon problemov, ki jih je mogoče rešiti s pomočjo MKE, je skoraj neomejen. Upoštevajte na primer problem izračuna linearne deformacije elastičnih struktur zaradi delovanja statičnih obremenitev.

Angleški fizik R. Hooke je izvedel raziskavo deformacij centralno obremenjenih palic iz različnih elastičnih materialov pod statično silo: Pl = Pl / EA.

Ugotovil je tudi razmerje med količinami, ki določajo ta proces: σ = Eε, kjer je deformacija izražena z razmerjem ε = ∆ / l, je napetost označena z σ = P / A (tukaj A je površina prečnega prereza palice).

Koeficient sorazmernosti E določa elastične lastnosti materiala in ima fizično bistvo - napetost, ki ustreza enoviti napetosti.

Vpliv statične sile

Statično delujoča sila postopoma raste s časom (G≥P≥0). Gibanje, ki ga ustvarja, raste tudi postopoma, brez pospeševanja.

Analiza z metodo končnih elementov nam omogoča, da določimo učinek statične sile na premik, glede na to, da se ti kazalci razlikujejo. Povečanje (povečanje) sile na neskončno majhno vrednost dP ustreza povečanju (povečanju) pomika d∆. Delovna sila (P + )P) na pomiku d∆ je dA = (P + )P) × d∆.

Končna vrednost delovne sile se določi s formulo A = Pd∆.

Uvedemo razmerje med dimenzionalnimi spremenljivkami pod znakom integralov ∆ = Pα, kjer je α koeficient skladnosti, ki izraža fizično bistvo gibanja točke, v katero se doda enota sile v smeri te sile. Razmerje P = Pα določa mersko enoto α (m / N). Iz tega sledi, da je d∆ = dPα.

Koeficient skladnosti ustreza drugi pomembni značilnosti strukture - koeficient togosti k = l / α (n / m), ki določa silo, ki povzroči eno samo premikanje konstrukcije v smeri te sile.

Ob upoštevanju vseh lastnosti in koeficientov ima končna enačba obliko: A = PdPα = α × (P 2/2) = (G∆) / 2.

Dobimo Clapeyronovo formulo, ki določa dejansko delo statično delujoče sile na premik, ki jo je sama ustvarila v elastičnem telesu. S to tehniko so izračunane druge numerične metode.

Metoda končnih elementov za barske sisteme

Palica je prostorsko telo, od katerih sta dve velikosti, širina in višina, veliko manjši od dolžine. To omogoča upoštevanje fizičnega modela v obliki črte, ki poteka skozi središča odsekov. Če se zunanje sile, ki se uporabljajo za palico, nahajajo v isti ravnini z njenim modelom, lahko domnevamo, da se njene deformacije pojavljajo v isti ravnini.

Z matematičnega vidika so geometrijske značilnosti premika in napetosti v palici funkcije istega argumenta. Odnosi teorije elastičnosti temeljijo na hipotezi o ravnih delih palice. Razmerje med deformacijami in napetostjo ustreza linearnemu Hookejevemu zakonu. V vsakem delu palice se pojavijo tri ravnine gibanja:

• koordinata u je vzdolžna sila;
• koordinata w - upogib;
• koordinata φ - kot vrtenja.

V tem primeru sta vzdolžni u in upogib w neodvisni, kot rotacije pa je izražen s formulo d = dw / dx, pri čemer je dw količina upogiba po zunanji sili na drog, dx je deformacijski segment (določen z vrednostjo w + dw).

Za neskončno majhno palico dx velja razmerje dx = dφ × P.

Potencialna energija Deformacije palic so seveda izračunane v lokalnem koordinatnem sistemu, katerega os x sovpada z osjo droga, os y pa je pravokotna na os palice: U = ½ ×N × du + ½M × dφ = ½∫N × (du / dx) dx + ½∫N × (du / dx) dx + ½ ×M × (d²w / dx²) dx.

Isoparametrični pristop v MKE

Razmislite o uporabi metode končnih elementov v izoparametričnem sistemu končnih elementov strukture z ravninskim stresom. Proces izdelave modela končnih elementov struktur je sestavljen iz več stopenj, od katerih je prva konstrukcija mreže končnih elementov (FE), izbira globalnega koordinatnega sistema glede na celotno strukturo in lokalnega sistema, ki je povezan s končnim elementom.

Ključni korak je definiranje funkcij oblike, ki zagotavljajo definicijo premikov znotraj končnega elementa zaradi gibanja njenih vozlišč. Obstajajo različni načini konstruiranja funkcij neke oblike, vendar morajo zagotoviti izpolnjevanje več pogojev za približevanje funkcij premikov.

• Izpolnjevanje neprekinjenosti premikov ne samo na vozliščih končnih elementov, ampak tudi na njihovih mejah.
• Zagotavljanje ohranjanja izvedenih funkcij premikanja, ki so povezane z elastičnim potencialom.
• Gibanje končnega elementa kot togo celo število. To pomeni, da ko so elementi premaknjeni kot trdna snov, so komponente deformacijskega vektorja enake nič.

Težave in rešitve

Teorija metod končnih elementov navaja, da se FEM odnosi oblikujejo v lokalnem koordinatnem sistemu. Zato se navedene zahteve za funkcije obrazca izvajajo samodejno, če so osi lokalnega sistema usmerjene vzdolž strani končnega elementa. Takšni primeri se izvajajo za končne elemente jedrnih struktur, pravokotne stenske plošče in pravokotne plošče.

V praksi pa obstajajo konstrukcije s konturo poljubne definicije. V tem primeru je potrebno izvesti transformacijo za približevanje pomikov v globalnem koordinatnem sistemu, ki vodi do prekinitev premikov na mejah končnih elementov in posledično do izgube natančnosti približnih izračunov.

Pojavila se je zamisel, da se na kvadrat z lokalnim koordinatnim sistemom, katerega izvor je v središču te številke, prikaže ploski, štirikotni končni element, katerega izhodišče je v ospredju, in osi, usmerjene na njegove strani. Za nadaljnjo uporabo končnih elementov v obliki kvadrata je treba vzpostaviti povezavo med dvema lokacijama med poljubnimi kvadratnimi FE in lokalnim koordinatnim sistemom FE v obliki kvadrata. Za kvadratni končni element so namreč funkcije oblike preprosto zgrajene.

Metoda končnih elementov za izračune plošč

Plošča je vložek ali valjasto telo, katerega višina je veliko manjša od velikosti v načrtu. Dimenzija višine se imenuje debelina plošče. Ravnina, ki deli polovico plošče na višino, se imenuje srednja ali referenčna ravnina. Linija preseka stranske ploskve s srednjo ravnino se imenuje obris plošče.

Šteje se, da je tanka plošča, pri kateri je razmerje med debelino in manjšo velikostjo v načrtu v h≤L / 5, kjer je h debelina plošče, L pa je njena širina.

Plošča se šteje za trdno, če njen največji odklon med deformacijo pod delovanjem prečne obremenitve ne presega 1/5 njene debeline.

Pri izračunu po metodi FE se najprej vnese koordinatni sistem: X ₁ , X ₂ in X ₃ . Začetek osi X ₁ in X ₂ se nahaja v srednji ravnini. Os X _{3 je} usmerjena vzdolž normale na srednjo ravnino.

Izračuni se običajno zmanjšajo na izračun premika (premika) plošče na določeni točki pod vplivom obremenitev (sil). Na poljubni točki plošče, ki se obravnava kot tridimenzionalno telo, se pojavijo tri smeri gibanja: U ₁ , U ₂ , U ₃ . Opredelitev je gibanje vzdolž normale na sredinsko ravnino, ki se imenuje upogib in je označena s črko W.

Šteje se, da so izračuni opravljeni, če se pri določeni obremenitvi (in to ponavadi enakomerno porazdeljeno, usmerjeno na površino) vzpostavi metoda za izračun premikov U in premik W na poljubni točki plošče. Odnosi MKE temeljijo na določilih tehnične teorije elastičnosti, ki jo je predlagal fizik Kirchhoff.

Kirchhoffove hipoteze

Metoda končnih elementov v veliki meri temelji na hipotezah, ki jih je leta 1845 oblikoval nemški fizik G. Kirghoff. Neposredna normalna hipoteza navaja, da vsaka ravna črta, ki je normalna do ravninske ravnine nedeformirane plošče, ostaja ravna in normalna do srednje površine deformirane plošče, dolžina ravne črte pa se ne spremeni. Njegovo bistvo je v odsotnosti premika med plastmi plošče v debelini.

Če so osi kartezičnih koordinat postavljene tako, da ravnine X ₁ , X ₂ sovpadajo s sredinsko ravnino, potem iz prvega dela hipoteze izhajajo naslednje enačbe: y ₁₃ = 0, y ₂₃ = 0. Hipoteza o nespremenljivosti dolžine ravne črte predpostavlja, da je linearna deformacija v smeri osi X ₃ nič: ε ₃₃ = 0.

Hipoteza o odsotnosti pritiska med plasti plošče vzporedno s srednjo površino nakazuje, da se napetosti σ _{33 v} primerjavi z napetostjo σ ₁₁ in σ ₂₂ lahko zanemarita, to je σ ₃₃ = 0.

Hipoteza o ne-deformabilnosti srednje ravnine kaže, da v srednji ravnini plošče ni deformacij napetosti, stiskanja in striženja. To pomeni, da je srednja ravnina nevtralna. Torej je v njem premik U ₁ = U ₂ = 0.

Zaključek

Metoda končnih elementov, ki se pogosto uporablja v gradbeništvu in mehaniki, omogoča izračun premikov različnih elementov, ki so izpostavljeni določenim obremenitvam. Sistem, ki so ga sovjetski znanstveniki oblikovali že leta 1936, se je začel široko uporabljati šele desetletja kasneje, saj je zahteval veliko količino izračunov. Z uvedbo računalnikov je ta naloga poenostavljena.