Primeri za izračun območja valja

Obstaja veliko število nalog, povezanih z valjem. Najti morajo polmer in višino telesa ali vrsto njegovega prereza. Poleg tega morate včasih izračunati območje valja in njegov volumen.

Katero telo je valj?

V okviru šolskega kurikuluma se proučuje krožno, to je, če je tako v bazi, valj. Vendar pa obstaja tudi eliptični pogled na to sliko. Iz naslova je jasno, da bo njegova osnova elipse ali ovalne oblike.

Obstajata dve bazni valji. Med seboj so enaki in povezani s segmenti, ki združujejo ustrezne točke baz. Imenujejo se valjčni generatorji. Vsi generatorji so med seboj vzporedni in enaki. Sestavljajo stransko površino telesa.

V splošnem je cilinder nagnjen. Če generatorji s podstavki tvorijo pravi kot, potem že govorijo o ravni liniji.

Zanimivo je, da je krožni cilinder vrteče se telo. Dobimo ga z obračanjem pravokotnika okrog ene od njegovih strani.

Glavni elementi valja

Glavni elementi valja so naslednji.

1. Višina To je najkrajša razdalja med bazami valja. Če je ravna, potem višina sovpada z generico.
2. Polmer Se ujema s tisto, ki jo lahko držite v bazi.
3. Os. To je ravna črta, ki vsebuje središča obeh baz. Os je vedno vzporedna z vsemi generatorji. V ravnem cilindru je pravokoten na osnove.
4. Aksialni prerez. Oblikovan je na presečišču valja z ravnino, ki vsebuje os.
5. Tangentna ravnina. To poteka skozi enega od generatorjev in je pravokotno na aksialni odsek, ki se vleče skozi ta generator.

Kako je valj povezan s prizmo, ki je vtisnjena v njej ali opisana blizu nje?

Včasih obstajajo naloge, pri katerih je potrebno izračunati površino valja, medtem ko so nekateri elementi povezane prizme znani. Kako se te številke nanašajo?

Če je prizma zapisana v valj, so njene osnove enake poligone. In vpisane so v ustrezno podlago valja. Bočni robovi prizme se ujemajo z generatorji.

Pri opisani prizmi v osnovah so pravilni poligoni. Opisane so okoli valjevnih krogov, ki so njegove osnove. Ravnine, ki vsebujejo ploskve prizme, se dotikajo valja vzdolž generatorjev.

Na območju bočne površine in podlage za ravni krožni valj

Če skenirate stransko površino, dobite pravokotnik. Njene stranice bodo sovpadale z generatorjem in obseg razlogov. Zato bo bočna površina valja enaka zmnožku teh dveh količin. Če napišete formulo, dobite naslednje:

S _stran = l * n,

kjer je n generator, je l dolžina kroga.

Zadnji parameter se izračuna po formuli:

l = 2 π * r,

pri čemer je r polmer kroga, π število "pi", ki je enako 3,14.

Ker je baza krog, se njeno območje izračuna z naslednjim izrazom:

S _primarni = π * r ² .

Na območju celotne površine ravnega krožnega valja

Ker so sestavljene iz dveh baz in stranske površine, je treba te tri količine dodati. To pomeni, da se skupna površina valja izračuna po formuli:

S _tal = 2 π * r * n + 2 π * r ² .

Pogosto je napisana v drugi obliki:

S _floor = 2 π * r (n + r).

Na območjih nagnjenega krožnega valja

Kar se tiče razlogov, so vse formule tam enake, ker so še vedno krogi. Toda stranska površina ne daje pravokotnika.

Za izračun lateralne površine poševnega valja je treba pomnožiti vrednosti generatorja in oboda odseka, ki sta pravokotni na izbrani generator.

Formula izgleda takole:

S _stran = x * P,

kjer je x - dolžina cilindra generatorja, P - obod dela.

Odsek, mimogrede, je bolje izbrati tako, da tvori elipso. Nato bodo poenostavljeni izračuni njegovega oboda. Dolžina elipse se izračuna po formuli, ki daje približen odgovor. Toda pogosto je dovolj za šolske naloge:

l = π * (a + c),

kjer sta "a" in "b" polavici elipse, to je razdalja od centra do najbližjih in najbolj oddaljenih točk.

Območje celotne površine je treba izračunati z naslednjim izrazom:

S _nadstropje = 2 π * r ² + x * R.

Kaj so nekateri odseki ravnega krožnega valja?

Ko odsek preide skozi os, je njeno območje opredeljeno kot produkt generatorja in premer osnove. To je posledica dejstva, da ima obliko pravokotnika, katerega stranice sovpadajo z navedenimi elementi.

Da bi našli območje prečnega prereza valja, ki je vzporedno z osno, potrebujemo tudi formulo za pravokotnik. V tem primeru bo ena stran še vedno sovpadala z višino, druga pa je enaka tetivi podlage. Slednji se ujema s črto prereza vzdolž osnove.

Če je odsek pravokoten na os, ima obliko kroga. Poleg tega je njeno območje enako kot na dnu slike.

Morda celo presečišče pod določenim kotom glede na os. Nato se v prerezu dobi oval ali njegov del.

Primeri nalog

Naloga številka 1. Podan je ravni valj, katerega osnovna površina je 12,56 cm2. Če je njegova višina 3 cm, je potrebno izračunati skupno površino valja.

Odločitev. Treba je uporabiti formulo za celotno območje krožnega ravnega cilindra. Vendar ji primanjkuje podatkov, in sicer polmer baze. Vendar je območje kroga znano. Iz njega je enostavno izračunati polmer.

Je enaka kvadratnemu korenu kvocienta, ki ga dobimo z deljenjem območja baze s pi. Po delitvi 12.56 na 3.14 pride do 4. Kvadratni koren iz 4 je 2. Zato bo polmer imel točno to vrednost.

Zdaj lahko izračunate površino stranske površine. To naredite tako, da pomnožite pi s polmerom, višino in 2. Delo bo izgledalo takole: 3.14 * 3 * 2 * 2. Rezultat je: 37.68 cm ² .

Za štetje skupne površine morate dodati dve osnovi (12,56 cm ² ) in stransko površino (37,68 cm ² ). Rezultat je število 50,24 cm ² .

Odgovor: S _spol = 50,24 cm ² .

Naloga številka 2. Cilinder s polmerom 5 cm je potisnjen z ravnino, ki je vzporedna z osjo. Razdalja od odseka do osi je 3 cm, višina cilindra pa 4 cm.

Odločitev. Oblika odseka je pravokotna. Ena stran sovpada z višino valja, druga pa je enaka tetivi. Če je prva vrednost znana, potem je treba najti drugo.

Če želite to narediti, naredite dodatno gradnjo. Na bazi naredimo dva segmenta. Oba se bodo začela v središču kroga. Prva se bo končala v središču tetive in bo enaka znani razdalji od osi. Drugi je na koncu tetive.

Pojdi pravokotni trikotnik. Znana je hipotenuza in ena od nog. Hipotenuza sovpada s polmerom. Druga noga je polovica tetive. Neznana noga, pomnožena z 2, bo dala želeno dolžino tetive. Izračunamo njegovo vrednost.

Da bi našli neznano nogo, morate izravnati hipotenuzo in znano nogo, odšteti drugo od prvega in vzeti kvadratni koren. Kvadrati so 25 in 9. Njihova razlika je 16. Po ekstrakciji kvadratni koren 4. To je želena noga.

Akord bo enak 4 * 2 = 8 (cm). Sedaj lahko izračunamo prečni prerez: 8 * 4 = 32 (cm ² ).

Odgovor: S _Sich je 32 cm ² .

Naloga številka 3. Izračunati je treba osno prerez valja. Znano je, da je v njem vpisana kocka z robom 10 cm.

Odločitev. Aksialni odsek valja sovpada s pravokotnikom, ki poteka skozi štiri tocke kocke in vsebuje diagonale njegovih podlag. Stran kocke je generator valja, diagonala podstavka pa sovpada s premerom. Produkt teh dveh količin daje površino, ki jo je treba prepoznati v problemu.

Če želite najti premer, morate uporabiti znanje, da je na dnu kocke kvadrat in njegova diagonala tvori enakostranični desni trikotnik. Njegova hipotenuza je želena diagonalna oblika.

Da bi jo izračunali, potrebujete formulo Pitagorejevega izreka. Potrebno je kvadrirati stran kocke, jo pomnožiti z 2 in izvleči kvadratni koren. Deset do druge stopnje je sto. Pomnoženo z 2 - dvesto. Kvadratni koren 200 je 10√2.

Odsek je pravokotnik s stranicami 10 in 10√2. Njegovo območje je enostavno izračunati z množenjem teh vrednosti.

Odgovor je. S seč = 100 × ² cm2.